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division euclidienne + equations differentielles

Posté par ap_one (invité) 30-11-04 à 18:12

Bonjour, j'ai un DM pour jeudi et j'ai un brouillon pour 2 exercice qui n'ont pas l'ait très bon. Pourriez vous me corrigez et m'aider à faire ce que j'ai pas su faire svp ? merci infiniment.

---ENONCE ---------------------------------


EXERCICE 1

On se propose de déterminer l'ensemble S des couples ( x; y) d'entiers naturels solutions de l'équation : 3^x = 8 + y^2
     1/ Suivant les valeurs de x, déterminer le reste de 3^x ds la division euclidienne par 8.
     2/ Suivant les valeurs de y, déterminer le reste de y^2 ds la division euclidienne par 8.
     3/ On suppose que ( x;y) appartient à S.
       a. démontrer que x est pair. on pose alors x=2n
       b. factoriser 3^2n - y^2 et montrer que 3^n < ou egal à 8.


EXERCICE 2

On cherche à déterminer S, l'ensemble des fonctions strictement positives sur R, solutions de l'équation différentielle y' = 2y - 5y^3 et prenant la valeur 1/2 en 0.

   1/ on pose z = 1/y^2 . déterminer une equation differentielle vérifiée par z et la résoudre.
   2/ déterminer S.

EXERCICE 3

La fonction f est définie sur [0; +oo [ par f(x) = [(x^2 + x + 1)/(x^2)]e(-1/x) lorsque x>0 et f(0) = 0.
On note (C) sa courbe représentative ds un repère orthonormal.
     1/ la fonction f est-elle continue en 0 ?
     2/ déterminer la limite en +oo. que peut-on en déduire pour (C) ?
     3/ La fonction f est-elle dérivable en 0 ? (on pourra poser X = 1/x)
     4/ déterminer les variations de f sur ]0; +oo [
     5/ construire (C)


--- MON BROUILLON ----------------


EXERCICE 2

z = 1/y^2 donc
(1/y^2)' = 2(1/y^2) - 5(1/y)^3
-2/y^2 = (2/y^2)- 75/y
-4/y^2 = -75/4
4y = 75y^2


EXERCICE 3

1/ 0 appartient à l'ens. de définition.
lim f(x) = lim f(x)= f(0) = 0
x-> 0+      x->0-

donc f est continue en 0.

2/ lim f(x) = 1  
   +oo
donc C admet une asymptote horizontale y=1

3/ soit X = 1/x
f(x) = (1 + X + X^2) e^X

[f(x) - f(0)]/ (x - 0) = (X +X^2 + x^3) e^X = R
lim R = 1   donc f'(x) est dérivable en 0.
0

4/ f est derivable sur cet ensemble par produit de fonction rationelle et exponetielle.
f'(x) = [(e^-1/x)(-2x^2 - x^3 - 3x ) ] / x^4

donc signe de f'x) = signe de (-2x^2 - x^3 - 3x )
donc sur ]0; +oo[, f'(x) < 0
donc sur ]0; +oo[, f est décroissante.

Posté par
takhasys
re : division euclidienne + equations differentielles 30-11-04 à 19:36

Bonsoir
Exo2
avec z=1/y², y=1/z^(1/2), y^3
z'=-2y'/y^3 ou y'=-1/2 y^3 z'

y'=2y -5 y^3 devient
-1/2 y^3 z' = 2 y - 5 y^3
donc -1/2 z' = 2 / y² - 5
-1/2 z' = 2 z - 5
z' = -4 z + 10

A toi la suite

Posté par
watik
re : division euclidienne + equations differentielles 30-11-04 à 20:43

bonsoir ap_one

Exo1)

1) 3=3 mod(8)
   3²=1 mod(8)
   3^3=3 mod(8)

donc n=2p+r    r=0 ou 1

3^(n)=3^(2p+r)=9^p.3^r

comme 9^p=1 mod(8) donc 3^n=3^r mod(8)  r=0 ou r=1

donc 3^n=1 mod(8) ou 3^(n)=3 mod(8) selon que n est pair ou impair respectivement.

2) y élément de N il exte q et r tel que:

y=8q+r avec 0<=r<8

y²=64q²+16qr+r²=8(8q²+2qr)+r²

donc y²=r² mod(8)

r=0 y²=0 mod(8)
r=1 y²=1 mod(8)
r=2 y²=4 mod(8)
r=3 y²=1 mod (8)
r=4 y²=0 mod(8)
r=5 y²=1 mod(8)
r=6 y²=4 mod(8)
r=7 y²=1 mod(8)

r=4q'+r' avec r'=0,1,2,3
r²=16q'²+8q'r'+r'²=8(2q'²+q'r')+r'²
donc r²=r'² mod(8) avec r'E{0,1,2,3}

donc y²=r'²mod(8) avec r'E{0,1,2,3}

3)a)(x,y) apprtient à S donc :

3^x = 8 + y²

donc 3^x=y² mod(8)

on a vu que 3^x=1 si x est pair et =3 si x est impaire

d'autre part y²=r'² = 0,1,4 mod(8)

l'égalité 3^x=y² mod(8) n'est possible que si 3^x=y²=1 mod(8)

cad x est pair.

b) 3^2n - y^2 = (3^n-y)(3^n+y)=8
donc 3^n-y divise 8 et 3^n+y divise 8

donc leur somme  ((3^n-y)+(3^n+y)) divise 8.

donc 2.3^n divise 8

donc 3^n divise 4 donc 3^n<4<8


voila

bon courage pour la suite

Posté par ap_one (invité)re : division euclidienne + equations differentielles 30-11-04 à 22:35

merci bcp a vous deux,
parcontre dans l'exo 1, watik tu ecris
"b) 3^2n - y^2 = (3^n-y)(3^n+y)=8
donc 3^n-y divise 8 et 3^n+y divise 8

donc leur somme  ((3^n-y)+(3^n+y)) divise 8."
je ne comprends pas trop ?
car si 4 divise 24 et 6 divise 24
4+6 = 10 ne divise pas 24 ?

Posté par
watik
re : division euclidienne + equations differentielles 01-12-04 à 09:35

bonjour

vous avez parfaitement raison. erreur d'inatention de ma part. mille fois désolé.

en fait, il suffisait de dire :

3^n+y divise 8  donc 3^n+y <= 8

comme 3^n <= 3^n+y

donc 3^n <= 8

voila.

encore une fois désolé.

je vous remercie.


Posté par ap_one (invité)re : division euclidienne + equations differentielles 01-12-04 à 18:43

ce n'est pas grave wadik, tu m'as beaucoup aidé et c'est bien que j'ai vu la faute, ça veut dire que j'aurais compris le raisonnement!

pour l'exercice 3, c'est ok j'ai compris et fini donc pas de problèmes.

par contre exercice 2 je ne comprends pas, quelqu'un pourrait-il m'aider svp ?

merci bcp encore une fois

Posté par ap_one (invité)re : division euclidienne + equations differentielles 01-12-04 à 18:44

au fait désolé, j'aurais du vouvoyer plutot.

Posté par ap_one (invité)re : division euclidienne + equations differentielles 01-12-04 à 19:57

pourriez vous voir si mes résultats sont corrects svp pour l'exo 2 ? merci d'avance
salut sisbai, pourrais tu vérifier mes chiffres stp ?

z' = -4 ( z - 5/2 )
[...]
z : x --> C e^-4x   + 5/2
y : x --> 1/ ( Ce^-4x + 5/2 )
[...]
C = 3/2

f(x) = 1/ ( 3/2 e^-4x  + 5/2 )



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