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dm
Bonjour j'ai un devoir maison à faire et je bloque à une question
(E1) : f est dérivable sur lR
(E2) : f'(0)=1
(E3) : f(x+y)=f(x)*f(y) pour tous réels x et y
1) Vérifier que la fonction "exponentielle" est solution de (E). Je l'ai fait
2) Montrer que si f est solution de (E) alors f ne s'annule pas sur IR et f(0)=1. Je l'ai fait
et là je bloque..
3) soit f une fonction définie sur IR : on veut démontrer dans cette question que si f est solution de (E) alors f'(a)=f(a) pour tout réel a
Soit a un réel fixé : la fonction Ka est définie sur IR par Ka(x)=f(a+x)-f(a)*f(x)
A) on suppose que f vérifie (E1) et (E2). Justifier que Ka est dérivable sur IR puis détermier sa fonction dérivée et en déduire Ka'(0)
B) On suppose de plus que f vérifie (E3). Quelle est alors la fonction Ka
Merci de m'aider
Bonsoir,
Ka est dérivable sur IR ?
Et bien forme (Ka(x+h)-Ka(x))/h et regarde s'il y a bien toujours une limite quand h tend vers 0.
cela fait donc
y=(f(a+x+h)-f(a)*f(x+h)-f(a+x)-f(a)*f(x))/h
c'est ce que j'avais fait mais je ne vois pas quoi faire après
petite erreur de signe : (f(a+x+h)-f(a)*f(x+h)-f(a+x)+f(a)*f(x))/h
un petit regroupement intelligent :
= ( f(a+x+h)-f(a+x))/h - f(a) (f(x+h)-f(x)) /h
vers quoi tendent ( f(a+x+h)-f(a+x))/h et (f(x+h)-f(x)) /h quand h tend vers 0 ?
?
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