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Dm Algorithme

Posté par
ormss
06-10-15 à 20:17

Hello , j'ai besoin d'aide merci d'avance



u0=-8 et pour tout nEN Un+1=3/4Un+1/4n-2

1) a) calculer U1 et U2

b) le rôle de l'algorithme ci-dessous est, état donné un entier naturel N, de calculer et d'afficher tous les termes de la suite (Un) jusqu'a Un.

Compléter cet algorithme: (voir photo)

c) quels sont les termes affichés par l'algorithme  lorsque N= 4? Calculer la valeur exacte de ces termes.

2)a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n: Un ≤ n-8.

b) démontrer que , pour tout entier naturel n: Un+1-Un= 1/4(n-8-Un)

c) en déduire une validation de la conjecture précédente.

3) Modifier l'algorithme de la question 1 pour qu'il affiche, étant donné un entier naturel N; la sommes des termes U0+U1+...+Un

Dm Algorithme

Posté par
ormss
re 07-10-15 à 13:26

up

Posté par
mathafou Moderateur
re : Dm Algorithme 07-10-15 à 13:51

Bonjour,

ta formule est illisible ou ambigüe : tu dois mettre correctement des parenthèses lorsqu'elles sont indispensables.
et écrire des indices en indices
il y a un bouton "mettre en indice" X2 ici, qui met ce qu'on veut en indice de ce qu'on veut
trucblabla s'écrit truc[sub]blabla[/sub] où les balises [sub][/sub] sont générées en cliquant sur le bouton X2

Un+1=3/4Un+1/4n-2 veut dire très exactement, et encore en devinant qu'il y a des indices
U_n+1 = \dfrac{3}{4}U_n +\dfrac{1}{4}n - 2

en devinant un peu plus on peut supposer que c'était

U_{n+1} = \dfrac{3}{4}U_n + \text{va savoir quoi}

1a : calculer U1 et U2
ne prétends pas que tu ne sais pas le faire ...

1b : c'est quoi les données ? les formules ? Il n'y a qu'à les recopier dans les pointillés !

la variable U contient à tout instant la valeur de Ui
c'est le seul piège d'écriture qu'il y a : bien distanguer la variable U de son contenu.


1c : se comporter comme une machine qui déroule servilement cet algorithme, opération après opération

etc ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Dm Algorithme 07-10-15 à 13:52

* distinguer

Posté par
ormss
re 07-10-15 à 14:28

Alors c'est Un+1=3/4Un+(1/4n)-2

a)
pour U1 je trouve u1=3/4*(-8)+1/4*0-2=-8


pour U2 je trouve u2=3/4*(-8)+1/4*1-2= -31/4


b) j'ai pas compris ce qu'il faut faire mais pour compléter l'algo :

à la premiere je mets " saisir la valeur N "

à la 2eme ligne " U prend la valeur -8 "

puis à la derniere ligne " U prend la valeur 3/4U+1/4I -2 "

Posté par
mathafou Moderateur
re : Dm Algorithme 07-10-15 à 15:00

OK,

pour la b tu as donc parfaitement compris, même si tu "n'y croyais pas"
il reste juste une toute petite erreur d'indice

la boucle "pour" commence à I = 1
et le 1/4n de la formule pour calculer U1 prend n = 0, pas n+1 = 1

toi tu as donc généré la suite
Un+1 = (3/4)Un + (1/4)(n+1) - 2

dans l'algorithme pour la formule sur U il ne faut donc pas prendre I mais ...



nota : la parenthèse autour de (1/4n) est une parenthèse "de confort" puisque c'est déjà ce que ça voulait dire sans parenthèses du tout
(parenthèse pour lever une ambigüité et marteler les points sur les i)
mais cette parenthèse de confort laisse tout de même une ambigüité entre le 1/4n qui veut formellement dire (1/4)n et le 1/(4n) qu'on pourrait comprendre à tort, que l'on mette des parenthèses supplémentaires autour de l'ensemble ou pas.
la parenthèse de confort aurait donc du être (1/4)n

Posté par
ormss
re 07-10-15 à 15:15

je n'arrive pas à voir l'erreur d'indice ...

Posté par
mathafou Moderateur
re : Dm Algorithme 07-10-15 à 15:58


1ere exécution de la boucle
I = 1
U valait -8

on calcule donc 3/4U + 1/4I - 2 = (3/4)*(-8) + (1/4)*1 - 2 = U2 et pas U1 comme cela devrait être

pour calculer U1 = U0+1 il faut un n = 0, pas 1, donc utiliser (I-1) au lieu de I :

U = (3/4)U + (1/4)(I-1) - 2

Posté par
ormss
re 07-10-15 à 16:24

oui donc c'est comme si on faisait n-1 ?

pour la c j'ai fait un tableau détape jusqu'a I = 4

d) on peut conjecturer que la suite (un) est croissante

2a)

1etape ini : u0=-8 et 0-8=-8 donc u0<0-8 donc p(0) est vrai


2eme etape : hérédite

on suppose qu'il existe Ken tel que p(k) est vrai

on veut dire que uk<k-8

( on cherche a montrer que p(k+1) est vraie , c'est à dire que uk+1<(k+1)-8 )

Uk< k-8 ici je bloque ..

Posté par
mathafou Moderateur
re : Dm Algorithme 07-10-15 à 16:40

il y a deux façon de prouver l'hérédité

partir de l'écriture de l'hypothèse Uk < k-8 (c'est mais passons)
puis essayer d'imaginer une succession parachutée d'opérations qui vont transformer ça en
Uk+1 < (k+1)-8
il y faut beaucoup d'imagination !!

ou alors écrire Uk+1 tout court, en fonction de Uk (c'est juste la définition de la suite !!)
et faire intervenir dans cette écriture ce qu'on sait de Uk
cette façon de faire est généralement bien plus simple à "imaginer" : vu qu'il n'y a pratiquement qu'à remplacer !

ici on sait que si A = aB + ..., "a" une constante positive et que si B < C
alors A < aC + ...

cette propriété sur les manipulations d'égalités et d'inégalités est indépendante du fait que ce soit des suites ou pas. c'est du pur calcul.

une fois ce calcul "dans le sens facile" obtenu
on peut facilement le "retourner" pour rédiger en partant de Uk < k-8 si on préfère ce style de rédaction, mais donnant alors l'impression de parachutage de calculs où on ne voit pas trop où on veut en venir avant qu'il ne soit fini.

Posté par
ormss
re 07-10-15 à 16:51


donc je fais


Uk < k-8 (je fais *K)

Uk+1 < k+1-8

Uk+1 < k-7

??

ensuite conclusion cette partie je sais faire.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Dm Algorithme 07-10-15 à 17:59

non, ton raisonnement ne tient pas debout, tu affirmes des trucs sans preuve.
le simple fait de remplacer k par k+1 voudrait dire que tu sais déja que c'est vrai !!
alors qu'on n'en sait rien du tout et que c'est justement ce qu'on veut démontrer !!

je le remets dans mon sens à moi :

tu as par définition Uk+1 = (3/4)Uk + (1/4)k - 2
(ça c'est vrai et irréfutable, et valable quel que soit k par définition)

l'hypothèse de récurrence dit que Uk < k -8

et je me contente de remplacer :

donc Uk+1 < (3/4)(k-8) + (1/4)k - 2
(c'est légitime parce que 3/4 est > 0, donc on ne change pas le sens de l'inégalité etc ...)

tu n'as plus maintenant qu'à développer et simplifier ça et tu verras bien ce que ça conclut.
cette façon de raisonner est totalement mécanique (et rigoureuse)

tu pourras ensuite présenter des calculs dans l'autre sens si tu veux en écrivant "artificiellement" :

Uk < k -8

donc en multipliant par 3/4 les deux membres :
(3/4)Uk < (3/4)(k-8)
(on l'impression que cette opération là est devinée par magie)
etc ...

et terminer le raisonnement par un "on reconnait dans (3/4)Uk + (1/4)k - 2 l'expression de Uk+1 etc
mais faire comme ça dès le départ, il faut chercher le fil avant de le trouver.
ici c'était encore "relativement simple" si on a bien présent à l'esprit le but à atteindre
souvent c'est beaucoup moins visible dans ce sens là du raisonnement.

Posté par
ormss
re 07-10-15 à 18:20

Merci j'ai compris !

b) ensuite je fais Un+1-Un .

c) pour la conjecture je bloque

d) cette question

je rajoute dans Variables : N U I " S"

Entrée

            je rajoute  " S prend la valeur -8"

et dans traitement je rajoute  

"S prend la valeur U+S "

et " Afficher S" ??

Posté par
mathafou Moderateur
re : Dm Algorithme 07-10-15 à 18:45

b) pareil c'est encore une récurrence à mon avis

c) comme dans l'énoncé il n'est fait mention d'aucune conjecture ...

une conjecture c'est "il me semble que" (la suite est convergente ou je ne sais quoi du même genre, observé sur les termes de la suite qu'on t'a fait calculer)

ensuite avant de le démontrer il font donc déja l'énoncer cette conjecture, le résultat de ces observations.

d) ça me semble bon.

à condition de mettre le "S prend la valeur U+S" au bon endroit dans la boucle !!


plus le temps ce soir car je dois partir, mais au besoin tu trouveras bien une bonne âme ...

Posté par
ormss
re 07-10-15 à 18:49

Merci bonne journée



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