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DM Angle orienté !

Posté par
homer93 28-03-10 à 16:47

bonjour, j'ai besoin d'aide pour cette exercice:

I)

A,M et P sont trois points d'un cercle C. T est la tangent à C en M.
Démontrer que (\vec{AP};\vec{AM})= (\vec{MP};\vec{MT})  modulo \pi

Indication: En utilisant : - Le théorème de l'angle inscrit avec (\vec{AP};\vec{AM})
                           - Le fait que OMP est un triangle isocèle
                           - Le fait que (OM)\perp (MT)
démontrer que 2(\vec{AP};\vec{AM}) = 2(\vec{MP};\vec{MT})  modulo (2\pi)

II)
Il s'agit en fait de faire la démonstration de la propriété de l'angle inscrit...Il ne faut donc jamais se servir de la propriété dans cette partie d'exercice.

Soit O le centre d'un cercle passant par deux points A et B.
M est un point du cercle, distinct de A et de B.
M' est le point diamétralement opposé à M.
1) En considérant les angles orientés du triangle MAO, établir la suite d'égalité: 2(\vec{MA},\vec{MO}) = \pi-(\vec{OM},\vec{OA})= (\vec{OA},\vec{OM'})modulo (2\pi)
2) Évaluer, de manière analogue, 2(\vec{MB},\vec{MO})
3) En déduire que 2(\vec{MA},\vec{MB}) = (\vec{OA},\vec{OB}) modulo(2\pi)
4) A-t-on (\vec{MA},\vec{MB}) = \frac{1}{2}(\vec{OA},\vec{OB})Modulo(2\pi)?

Merci d'avance pour votre aide à cette exercice.

Posté par
Pierre_Dre : DM Angle orienté ! 29-03-10 à 14:32

Bonjour Homer,

Je suis prêt à t'aider si tu indiques où tu tombes en panne exactement, et pourquoi à ton avis.

Posté par
homer93re : DM Angle orienté ! 29-03-10 à 16:35

Merci pour ton aide.
Pour la I) je ne sais pas par où commencer.
Pour la II) Je voulais utiliser la propriété mais on ne peut pas. Donc j'ai Tracé le cercle pour m'aider et (MO,M'O)= pi mais apres...

Posté par
homer93re : DM Angle orienté ! 29-03-10 à 18:39

personne pour m'aider ?

Posté par
Pierre_Dre : DM Angle orienté ! 29-03-10 à 23:14

Bonjour Homer,

Il est vrai que c'est un peu fastidieux :

a) angle inscrit : 2(\vec{AP},\vec{AM})\,=\,(\vec{OP},\vec{OM})+2k\pi

b) triangle isocèle : (\vec{MO},\vec{MP})\,=\,(\vec{PM},\vec{PO})

c) tangente : (\vec{MT},\vec{MO})\,=\,\frac{\pi}2

Ensuite, relation de Chasles et règles sur les angles orientés :

(\vec{OP},\vec{OM})\ =\ (\vec{OP},\vec{PM})+(\vec{PM},\vec{OM})\ =\ -(\vec{PM},\vec{OP})+(\vec{MP},\vec{MO})\ =\ -[(\vec{PM},\vec{PO})+\pi]-(\vec{MO},\vec{MP})\ =\
et, à cause de b) :  \ =\ -[(\vec{MO},\vec{MP})+\pi]-(\vec{MO},\vec{MP})\ =\ -\pi-2(\vec{MO},\vec{MP})

Mais : -(\vec{MO},\vec{MP})\ =\ (\vec{MP},\vec{MO})\ =\ (\vec{MP},\vec{MT})+(\vec{MT},\vec{MO})\ =\ (\vec{MP},\vec{MT})+\frac{\pi}2

Et finalement : 2(\vec{AP},\vec{AM})\,=\,(\vec{OP},\vec{OM})+2k\pi\ =\ -\pi-2(\vec{MO},\vec{MP})+2k\pi\ =\ -\pi+2[(\vec{MP},\vec{MT})+\frac{\pi}2]+2k\pi\ =\ 2(\vec{MP},\vec{MT})+2k\pi

Posté par
homer93re : DM Angle orienté ! 30-03-10 à 15:09

merci pour ta réponse mais je comprend pas pourquoi tu met \pi
dans -[(PM,PO)+pi]-(MO,MP) ?
Sinon tu peux m'aider pour la II)
Merci d'avance

Posté par
Pierre_Dre : DM Angle orienté ! 30-03-10 à 16:18

Bonjour Homer,

I) à cause de la règle générale : (\vec u,-\vec v)\ =\ (\vec u,\vec v)+\pi\ \ mod(2\pi)
II) Essaie par toi-même.

Posté par
homer93re : DM Angle orienté ! 30-03-10 à 20:19

Ok merci pour ta réponse.
Sinon pour la II) je sais que (MA,MO) = (OA,AM) car c'est un triangle isocèle. Mais après je ne sais pas quoi faire.

Posté par
Pierre_Dre : DM Angle orienté ! 31-03-10 à 16:23

Homer,

Tu travailles sur des angles orientés, et  (\vec{MA},\vec{MO})  n'est pas égal à  (\vec{OA},\vec{AM})  ( ni d'ailleurs à  -(\vec{OA},\vec{AM})  ) ; le fait que le triangle soit isocèle entraîne en fait  (\vec{MA},\vec{MO}) = (\vec{AO},\vec{AM}) .

Posté par
homer93re : DM Angle orienté ! 31-03-10 à 18:50

merci mais après je fait comment pour la suite ?

(MA,MO) = (AO,AM)
        = .......
        = .......

On utilise cette méthode? (chasles,etc..)

Posté par
Pierre_Dre : DM Angle orienté ! 31-03-10 à 18:56

Oui

Posté par
homer93re : DM Angle orienté ! 31-03-10 à 19:01

(MA,MO) = (AO,AM)
        = (AO,AM)+(AO,OM')
        = pi-(AM,AO)+(AO,OM')

C'est bon?

Posté par
Pierre_Dre : DM Angle orienté ! 31-03-10 à 23:35

Bien sûr que non, Homer : comment peux-tu écrire (AO,AM) = (AO,AM)+(AO,OM') ?

On peut écrire par exemple  :
Triangle isocèle : (\vec{MA},\vec{MO})\ =\ (\vec{AO},\vec{AM})
On peut donc dire : 2(\vec{MA},\vec{MO})\ =\ (\vec{AO},\vec{AM})\ +\ (\vec{MA},\vec{MO})\ =\ (\vec{AO},\vec{AM})\ +\ (\vec{AM},\vec{OM})\ =\ (\vec{AO},\vec{OM})\ =\ (\vec{OA},\vec{MO})\ =\ (\vec{OA},\vec{OM'})

Je pense que tu peux faire la suite par toi-même.


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