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DM : Application Linéaire

Posté par
Tom1789 14-04-18 à 11:10

Soit n>=2. On se place dans les C-espace vectoriel C^{n}

On pose t:C^{n}\rightarrow
(u_{1},...,u_{n})\rightarrow (u_{2},...,u_{n},u_{1})

i.e.
\forall u = (u_{1},...,u_{n})\epsilon C^{n} , t(u)=(v_{1},...,v_{n})
avec :
\forall k \epsilon [[1,n-1]], v_{k}=u_{k+1} et v_{n}=u_{1}

On pose également :
l=t+Idc^{n}

1. Montrer que t et l sont des applications linéaires. (Déjà fait)

2. Determinez ker t. Qu'en conclure ?
ker t={(0,...,0)} t est injective. Et comme t est un endomorphisme, alors t est bijective.

3.Déterminez ker l et sa dimension.
ker l ={n\epsilon {C^{n}},l(n)=(0,..,0)}
                    ={nϵC^{n}, {U1=-U2,U2=-U3...Un-1=-Un,Un=-U1}}
                    ={nϵC^{n}, {U1=-U2,-U1=-U3...U1=-Un-1,U1=-Un}}
(Rq : Quand n paire U1=-Un et qd n impaire U1=Un, d'où)
                    ={(-U1,U1,...,-U1)ϵC^{n}} si n paire
                    ={(-U1,U1,...,U1)ϵC^{n}} si n impaire
                    =Vect(e1)
Ou e1=(-1,1,...,-1) ou e1=(-1,1,...,1)
Dans les 2 cas, la famille est libre (non nul) et génératrice par définition du Vect.
D'ou dim ker l=1

4.Montrer que t^{n}=Idc^{n} ou on note que t^{n}=t°...°t

L'application t déplace les coordonnées des u-plet 1 fois. Or il y a n coordonnées. Donc n itération de l'application revient à l'uplet identité.

(Ce qui me reste à faire)

Posté par
Tom1789re : DM : Application Linéaire 14-04-18 à 11:39

NB : Excusez l'étourderie, ici U et u désigne la même chose

5.Soit \lambda \epsilon C tel que ker(t-Idc^{n})\neq {(0,...,0)}
). Montrer qu'il existe k \epsilon [[0,n-1]] tel que :

\lambda = e^{\frac{2ik\pi }{n}}

6. Réciproquement, si \lambda = e^{\frac{2ik\pi }{n}}, avec k \epsilon [[0,n-1]]. Montrer qu'il existe un unique u(k)=(U1(k),...,Un(k))\epsilon C^{n} tel que :
u(k)\epsilon ker(t-Idc^{n}) et U1(k)=1

7)a) Montrer que, pour tout \forall k \epsilon [[0,n-1]], la famille (u(0),...,u(k)) est libre.

b) En déduire que B=(U(0),...,U(n-1)) est une base de C^{n}.

8) Soit u\epsilon C^{n} de coordonnées (x_{0},...,x_{n-1}) dans la base B.
a) Exprimer l(u) en fonction de  x_{0},...,x_{n-1},\lambda _{0},...,\lambda _{n-1} et u(0),...,u(n-1)
b)Faire de même avec  l^{j}(u) pour j\epsilon N^{*} où l^{j}=l°...°l

9) Montrer que, k\epsilon [[0,n-1]], on a :
\lim_{j\rightarrow +oo}(\frac{1+e^{ \frac{2ik\pi}{n}}}{2})=0

10) Soit u=(u_{1},...,u_{n})\epsilon C^{n}, on pose, pour j\epsilon N^{*}
l^{j}(u)=(l^{j}(u)_{1},....,l^{j}(u)_{n})
Montrer que :
\lim_{j\rightarrow +oo}(\frac{1}{2^{j}}l^{j}(u)_{1})=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{u_{k}}

Posté par
carpediemre : DM : Application Linéaire 14-04-18 à 11:53

BONJOUR

MERCI

AU REVOIR

pas d'adaptation du texte à un texte numérique :confusion avec la letre i et I (i majucule) et l (L minuscule)

s'emmerder avec un Id alors que I (pour identité) pourrait suffire ...

une lettre grecque merdique à taper ...

confusion entre c et C ...

les lettres f et g pourrait suffire pour désigner les endomorphismes ...

Citation :
On pose également : l=t+Idc^{n}
deuxième terme de la somme pas compréhensible ...

bof ... pas envie d'aider ...

Posté par
lafol Moderateurre : DM : Application Linéaire 14-04-18 à 16:13

Bonjour
Carpi tu as oublié la confusion entre n élément de \C^n et n entier naturel (celui qui intervient dans \C^{\red n}, justement ....
quand on aura un énoncé lisible, peut-être qu'on pourra aider
Là pas moyen de savoir ce que désigne \ell, par exemple

Posté par
carpediemre : DM : Application Linéaire 14-04-18 à 17:48

désolé lafol ... une faiblesse ...  dans un patacaisse illisible ...

Posté par
Tom1789re : DM : Application Linéaire 17-04-18 à 10:56

Bon, vue que c'est demandé si gentiment, Carpediem, haha !
Tu es certainement pénible. (Dis-je de façon non sarcastique.)
Alors; pour les autres personnes qui seront plus constructive que lui :

-Idc^{n}=Id\C^n
-C^{n}=\C^{n}
-l est une application linéaire

Si d'autres incohérence surviennent, n'hésitez pas à le faire savoir, poliment. Cela ne tuera personne.

Posté par
Tom1789re : DM : Application Linéaire 17-04-18 à 12:05

A la 5), alors

Tout ce que je peux faire, il me semble, partant de ker, c'est appliquer sa définition.

ker(t-Id\C^n)={u\epsilon Id\C^n, (t-Id\C^n)(u)=(0,...,0)}
                                       ={u\epsilon Id\C^n, (u_{2},...,u_{n},u_{1})-\lambda(u_{1},...,u_{n})=(0,...,0)}
                                        ={u\epsilon Id\C^n\begin{cases} & \text u_{2} = \lambda u_{1}\\ & \text u_{3} = \lambda u_{2}\\ & \text etc. \\ & \text u_{n-1} = \lambda u_{n}\\ & \text u_{n} = \lambda u_{1} \end{cases}}
                                       ={u\epsilon Id\C^n\begin{cases} & \text u_{2} = \lambda u_{1}\\ & \text u_{3} = \lambda^{2} u_{1}\\ & \text etc. \\ & \text u_{n} = \lambda^{n-1 }u_{1}\\ & \text u_{1} = \lambda^{n} u_{1} \end{cases}}
                                       ={u\epsilon Id\C^n\begin{cases} & \text u_{2}/u_{1} = \lambda \\ & \text u_{3}/u_{1} = \lambda^{2} \\ & \text etc. \\ & \text u_{n}/u_{1} = \lambda^{n-1} \\ & \text u_{1}/u_{1} = \lambda^{n} \end{cases}}

Or \lambda étant complexe, cela veut donc dire que comme il est à une puissance n>=2, alors il existe par définition de la racine n-ème de l'unité :

k \epsilon [[0,n-1]] tel que :

\lambda = e^{\frac{2ik\pi }{n}}

Est-ce suffisant comme preuve ?

Posté par
Tom1789re : DM : Application Linéaire 17-04-18 à 12:59

A la 6), je ne sais pas trop comment faire par rapport à l'existence unicité:
-J'invoque des scalaires (\lambda _{0},...,\lambda _{n-1})\epsilon \C^{n}
qui sont 2 à 2 distincts, et donc unique dans \C^{n}.
Puis, je montre que u(k) appartiens à l'ensemble ker(t-\lambda _{k}Id\C^{n})
en l'appliquant à l'intérieur tel que le résultat est non nul.
Cela marcherait-il ?

A la 7)a),
\C^{n} est de dimension infinie, alors je peux laisser tomber l'idée de trouver sa dimension et de compter le nombre de vecteur de cette famille.

De plus, si ker(t-\lambda _{k}Id\C^{n}) ={(0,...,0)}
Alors t-\lambda _{k}Id\C^{n} aurait été prouvée injective, et donc forcément la famille qui suit libre. Mais ce n'est pas le cas.

Cependant la fn à l'intérieur du ker est un endomorphisme. Donc si je montre que fn est surjective, j'obtiens la condition bijective, donc injective d'où la famille libre.
Mon cours  me dit que pour montrer que la fn est surjective im fn = {\C^{n}}
Ce que je ne sais pas faire. Quelqu'un peut m'aider là dessus ?

à la b) Une fois déduit que la fn est bijective, sachant qu'elle est un endomorphisme, donc elle est un automorphisme. Donc un isomorphisme (Oui, on l'obtenait le moment ou la fn est bijective et une application linéaire ). Par propriété du cours B est une base de \C^{n}.

Posté par
lafol Moderateurre : DM : Application Linéaire 17-04-18 à 13:35

tu te plains de Carpi ? alors que tu nous a posé ton énoncé sans un bonjour sans un merci ? c'est un peu l'hôpital qui se fout de la charité, là !

sinon,

Citation :
Tout ce que je peux faire, il me semble, partant de ker, c'est appliquer sa définition.

ker(t-Id_{\C^n})=\left\{u {\red\in Id_{\C^n}}, (t-Id\C^n)(u)=(0,...,0)\right\}


tu peux expliquer ce que signifie le passage en rouge ?

Posté par
lafol Moderateurre : DM : Application Linéaire 17-04-18 à 13:38

et je ne vois pas d'où sort le lambda qui intervient dans les lignes suivantes
l'énoncé était d'ailleurs déjà incohérent, pour cette question (lambda non défini)

Posté par
Tom1789re : DM : Application Linéaire 26-04-18 à 16:08

Bonjour,
Oui alors erreur de ma part dans l'écriture de l'énoncée :

Citation :
Soit \lambda \epsilon C tel que ker(t-Idc^{n})\neq {(0,...,0)}). Montrer qu'il existe k \epsilon [[0,n-1]] tel que :\lambda = e^{\frac{2ik\pi }{n}}


Le ker était en fait ker(t-\lambda Id\C^n). D'où le lambda.

Et le passage en rouge signifie que u est un n-uplet composée de complexe. Que c'est l'identité.

Posté par
Tom1789re : DM : Application Linéaire 26-04-18 à 16:38

Rebelote, \C^{n} est l'ensemble des n-uplet complexe. Donc est de dimension finie. Peut-être y a t il un moyen plus simple de montrer la famille libre.

Posté par
Tom1789re : DM : Application Linéaire 26-04-18 à 17:40

Bon, si quelqu'un veut bien aider, je remercierais d'avance.

Posté par
coa347re : DM : Application Linéaire 26-04-18 à 18:59

Bonsoir,

Pour la 2), il me semble qu'il y a une erreur : pour n impair, on a à la fois u1=-un et un=u1.

Posté par
lafol Moderateurre : DM : Application Linéaire 26-04-18 à 22:43

Citation :
Et le passage en rouge signifie que u est un n-uplet composée de complexe. Que c'est l'identité.

C'est encore pire que ce qui était écrit en rouge...
Tu ferais bien d'ouvrir un cours, avant de chercher à faire des exercices...


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