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Dm commencé mais difficile à terminer
Bonjour, voila j'ai un dm à faire dans lequel il y a 4 exercices. J'ai déja commencé ces exercices mais je n'arrive pas à finir. Pourriez vous m'aider, je vous énonce les solutions que j'ai deja trouvé.
Merci à tous et à toutes.
Exercice 1:
On considère la suite (Un) définie par U0=3 et pour tout naturel n :
un+1=2Un+3/Un-2
a) Calculez U1, U2, U3
b) Dans un repère orthonormal, tracez la courbe d'équation y=2x+3/x-2 et la droite d'équation y=x sur ]2,+inf[
c) Utilisez ce graphique pour vérifier que la suite (Un) est périodique, précisez sa période.
Solutions trouvées pr l'instant:
a)U1=9 U2=3 , U3=9
b)J'ai tracé ma courbe, pas de pb
c)En réalité, je ne vois pas de période sur le tronçon de courbe que j'ai tracé, comment faire ? Cb vaut cette période?
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Exercice 2:
Sur le marché d'un certain bien, la demande, le mois n, est donnée par:
Dn = -4Pn+46 où Pn est le prix du bien le mois n et P0=5
L'offre de ce même bien, le mois n+1, est donnée en fonction de Pn par Sn+1=3Pn-10
1)Montrer que lorsque le marché est en équilibre (offre est égale à la demande), alors:
Pn+1=(-3/4 Pn)+14
2)On souhaite étudier l'évolution de la suite (Pn) lorsque le marché est en équilibre chaque mois n. Pour cela, on considère la suite auxiliaire (Un) définie par:
Un=Pn-8
a) Montrer que (Un) est une suite géométrique
b) En déduire la limite de la suite (Pn)
3)Déterminer le plus petit entier n pour que |Pn-8|<10-2 ; Interpréter ce résultat.
Solutions trouvées pour l'instant
1)-4Pn+1=46 = 3Pn-10
-4Pn+1+56=3Pn
Pn+1=(-3/4Pn) +14
2)a) Un+1 = Pn+1-8 = (-3Pn+56-32)/4
4Un+1=-3Pn+24
4/3 Un+1=-Pn+8
Un+1=-3/4 (Pn-8)
b) Je n'y arrive pas
c) Je n'y arrive pas
3) Je n'y arrive pas
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Exercice 3
Soit (Un) la suite définie par U0=-2 et, pour tout n€N
Un+1=(1/4 Un) + 3
1)a)Montrez à l'aide d'un raisonnement par récurrence que la suite (Un) est majorée par 4.
b)En déduire que cette suite est monotone, c'est à dire croissante ou décroissante.
2)On pose Vn=Un-4 pour tout n€N
a)Montrez que la suite (Vn) est une suite géométrique de raison 1/4
b)En déduire l'expression de Vn en fonction de n, puis celle de Un en fonction de n
c)En déduire la limite de la suite (Un)
Solutions trouvées pr l'instant
1)a)Montrons par récurrence que la suite (Un) est majorée par 4, pour n€N
U0=-2, donc U0<=4.La propriété est vraie pour U0
On suppose la propriété vraie pour n=p.on montre qu'alors Up+1 est vraie
Up<=4
1/4 Up<=1
1/4 Up+3<=4
Up+1<=4
Ainsi comme U0 est vraie et Up<=4 est vraie et Up+1<=4 est vraie, alors quelque soit n€N, Un<=4
b) Comme la suite est majorée par 4, elle est décroissante
2)a)Vn+1=Un+1-4
=(1/4) Un+3-4
=(1/4) Un-1
=(Un-1)/4
=(1/4) V)
Donc Vn est une suite géométrique de raison 1/4
b)Je n'y arrive pas
c)Je n'y arrive pas
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Exercice 4
Soit Sn = Somme (k=0,n) Vk
Exprimer Sn en fonction de n.En déduire lim Sn n->+inf
Solutions:
Impossible,j'y comprends rien ?
Oui j'ai cela, exact.Mais je ne vois pas ou la fonction se repete,enfin la ou elle est périodique,et si elle l'est de quelle période est elle
période = 6 ?
J'ai marqué mes réponses en dessous de chaque exercice pr les questions auxquelles j'ai su enfin je pense répondre. Peux tu me dire si c juste
U1 = 2U0+3 / U0-2 = 9/1 = 9
U2 = 2U1+3 / U1-2=21/7 = 3
U3=2U2+3 / U2-2=9
En fait, la fonction est symétrique par rapport à la droite d'équation y=x. et d'apres les calculs fait précedemment je vois que la fonction reprends une fois sur 2 la mm valeur dc elle est périodique de période U0 alors?non,
En fait, la ou j'avais du mal à comprendre la périodicité de cette fonction c'est parce que j'ai l'habitude des périodes avec des sin ou cos. C'est pour ça que je vois pas trop la période la ducoup
T étant le plus petit possible, T=3
si u(0)=u(2)=...=u(2p) et u(1)=u(3)=...=u(2q+1)
et plus généralement u(n+2)=n(n) => la période est 2
.
je viens seulement de comprendre, en + je le dis précédement qu'elle change une fois sur 2 et qu'elle reprends le mm résultat à n+2 sytématikement. J'étais ailleurs, et la mnt j'ai compris, en fait c'est vraiment tout bête.Merci de ta patience
Cela te dit de poursuivre et de regarder mon exercice 2 ou pas ?Si tu veux faire une pause pas de pb
J'en déduis que Un est une suite géométrique que l'on obtient en multipliant une constante différente de zéro au précédent. -> (Un+1)/Un = -3/4 qui est un nombre réel
Hé bien que la raison est -3/4.Tu veux traiter la question 2)a) ou 2)b)car ce que j'ai trouvé suffit pr démontrer que la suite est géométrique.
Je vais devoir partir pr revenir demain seulement.Dsl
Un est géométrique avec q=-3/4 et u0 non nul => Un tend vers zéro quand n tend vers l'infini et donc Pn tend vers 8
A vérifier
.
Bonjour, me revoila.
Exercice 2 Question 2)b)
Expression de Un en fonction de n:
Un=U0 x qn
avec Un=Pn-8 donc U0=P0-8 = -3
-> Un=-3 x (-3/4)n
Expression de Pn en fonction de n : (On remplace Un par l'expression trouvée précédemment)
Pn=Un +8 = -3 x(-3/4)n +8
Exercice 2 Question 2)c) :
Limite de la suite (Pn) :
Comme Un=-3 x (-3/4)n et Pn=Un+8
donc
Un=0 quand n tend vers l'infini
et donc Pn tend vers 8
Carcass le 07/11/2006 à 13:18
b) Comme la suite est majorée par 4, elle est décroissante
si u(0)=-2 et u(n) majorée par 4, je ne vois pas comment elle pourrait être décroissante...
A vérifier
.
Pour tout n entier naturel, Un est majorée par 4 car pour tout n entier naturel, Un < 4 et d'après les propriétés des suites, une suite décroissante est majorée. Car pour tout n , on a: u0 >= un et comme une suite est dite monotone si elle est croissante ou décroissante dc ici elle est bien monotone.
Mikayaou, on a oublié la question 3 de l'exercice 2. J'ai essaié de la traiter hier soir et j'obtiens une expression avec des Ln, est ce sur la bonne voie?
La suite u est dite décroissante si pour tout entier naturel n, Un>Un+1.
On a donc Un+1
Un...U1U0.
Pr Exercice2 question 3):
Pn<10-2+8
3x(3/4)n+8<10-2+8
(3/4)n<(10-2)/3 -> On descend la puissance
(ln (3/4)n)<ln((10-2)/3)
n x ln 3/4 < ln ((10-2)/3)
n< (ln ((10-2)/3))/ln3/4
excuse moi pour la suite, j'exploitais, par erreur, une autre Un
pour le 2-3, tu as oublié la valeur absolue
.
En fait,j'ai enlevé la valeur absolue, c'était volontaire,j'ai retiré ducoup le signe négatif devant le 3/4. ça m'a l'air faux ce que j'ai fait avec les ln, quand dis tu?
si tu les enlèves il faut être prudent
ici, ça marche pas trop mal et ton manque de justif peut passer
maintenant pense que 3/4 est inférieur à 1, alors ?
.
Je sais que ln 0 ça fait 1 et donc que ln 3/4 sera négatif comme le numérateur dc - / - = +
ah oui, on inverse le signe
n> (ln ((10-2)/3))/ln3/4
En réalité, il y a une faute de frappe pr l'exercice 4, ce n'est pas un exercice seul, c'est en fait la question 4 de l'exercice 3.Ttes mes excuses.
Question 2) Exo3:
Vo = U0-4= -6
Expression de Vn en fonction de n:
Vn = V0xqn
Vn= -6 x (1/4)n
Expression de n en fonction de n
Un=Vn+4
Un=-6 x ((1/4)n) +4
Question 2c) Exo3:
lim Un =4 qd n->+inf car lim(1/4)n=0 qd n->+inf
Voila il me reste plus que la question 4 que j'ai pas trouvé enfin j'ai une piste qd mm.
Erratum 11h52
Il faut comprendre Question 2)b Exo 3 pr le post précédent et expressin de Un en fonction de n ( et non n en fonction de n)
S=Vo ((1-qn+1)/(1-q))
=-6 x ((1-(1/4)n+1)/(1-q))
=-6 x ((1-(1/4)n+1)/(3/4)
= 8 (1/4)n+1 x (4n+1-1)
pour avoir la limite en +oo, tu n'aurais pas du distribuer les n et ne conserver que la ligne pénultième
.
C'est pour la question 2)c)? c quoi la ligne pénultieme , je ne comprends pas.
pénultième signifie "avant-dernier"
la ligne pénultième c'est
S=-6 x ( (1-(1/4)^(n+1) )/(3/4)
qui te permet, immédiatement, d'obtenir la limite de S pour n ->+oo
.
Ok, pr pénultieme c tjs bon à savoir.
dc la limite de S qd n->+inf = -inf
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