Niveau terminale

DM congruence et nombre premier

Posté par
cedric08 16-10-10 à 10:47

Bonjour j'ai ce dm a faire et je bloque

1)Pour a=2 puis a=3 déterminer un entier naturel n non nul tel que a^n soit congru a 1 modulo 7
2)Soit a un entier naturel non divisible par 7
   a)Montrer que a^6 est congru a 1 modulo 7 (on fera une disjonction de cas)
   b)On appelle ordre de a modulo 7 le plus petit entier naturel non nul k tel que a^k soit congru a 1 modulo 7
Montrer que le reste de la division euclidienne de 6 par k vérifie: a^r congru a 1 modulo 7
En déduire que k divise 6
Quelles sont les valeurs possible de k
   c)Donner l'ordre modulo 7 de tous les entiers a compris entre 2 et 6
3)A tout entier naturel n on associe le nombre: A indice n=2^n+3^n+4^n+5^n+6^n.
Montrer que A indice 2011 est congru a 6 modulo 7.

Merci a toute les personne qui me viendront en aide.

Posté par re : DM congruence et nombre premier 16-10-10 à 11:45

Bonjour,

1) $2^3\equiv 1\;\;[7]$ et $3^6\equiv 1\;\;[7]$

2)a) $a=7k+r$ avec $1\leq r<7$ et $a\equiv r\;\;[7]$

donc $a^6\equiv r^6\;\;[7]$

Si $r=1$ , $r^6\equiv 1\;\;[7]$

Si $r=2$ , $r^6\equiv 2^6\equiv (2^3)^2\equiv 1\;\;[7]$

Si $r=3$ , $r^6\equiv 3^6\equiv 1\;\;[7]$

Si $r=4$ , $r^6\equiv 4^6\equiv (2^3)^4\equiv 1\;\;[7]$

Si $r=5$ , $r^6\equiv 5^6\equiv (-2)^6\equiv 2^6\equiv 1\;\;[7]$

Si $r=6$ , $r^6\equiv 6^6\equiv (-1)^6\equiv 1\;\;[7]$

Donc si $a$ n' est pas multiple de 7, $a^6\equiv 1\;\;[7]$

C' est un début...

Posté par re : DM congruence et nombre premier 16-10-10 à 11:57

merci , pour le 2b) cela signifie quoi ordre de a modulo 7

Posté par re : DM congruence et nombre premier 16-10-10 à 12:16

2)b) On a donc $6=kq+r$ avec $0\leq r<k$

d' où $a^6\equiv a^{kq+r}\equiv (a^k)^q\times a^r\equiv a^r\;\;[7]$

donc $a^r\equiv 1\;\;[7]$

Mais alors $r$ est un entier strictement plus petit que $k$ vérifiant $a^r\equiv 1\;\;[7]$

Donc $r=0$ sinon $k$ n' est pas le plus petit non nul.

et $k$ divise 6

d' où les valeurs possibles pour $k$ : 1,2,3 ou 6

2)c) Si $a=2$ , $k=3$ (voir 1))

Si $a=3$ , $k=6$ (voir 1))

Si $a=4$ , $4^3\equiv (2^3)^2\equiv 1\;\;[7]$ et $k=3$

Si $a=5$ , $5^6\equiv 1\;\;[7]$ et $k=6$

Si $a=6$ , $6^2\equiv 1\;\;[7]$ et $k=2$

3) $2011=3\times 670 +1$ donc $2^{2011}\equiv (2^3)^{670}\times 2\equiv 2\;\;[7]$

$2011=6\times 335 +1$ donc $3^{2011}\equiv (3^6)^{335}\times 3\equiv 3\;\;[7]$

$2011=3\times 670+1$ donc $4^{2011}\equiv (4^3)^{670}\times 4\equiv 4\;\;[7]$

$2011=6\times 335+1$ donc $5^{2011}\equiv (5^6)^{335}\times 5\equiv 5\;\;[7]$

$2011=2\times 1005+1$ donc $6^{2011}\equiv (6^2)^{1005}\times 6\equiv 6\;\;[7]$

D' où $A_{2011}\equiv 2+3+4+5+6\equiv 6\;\;[7]$

A vérifier bien sûr...

Posté par re : DM congruence et nombre premier 16-10-10 à 12:26

Pour le 2c je n'ai pas compris comment tu faisait tes calcule et de quel formule tu partais

Posté par re : DM congruence et nombre premier 16-10-10 à 12:31

Si $a=2$ ou $a=3$ , on a répondu à la question au 1)

Par exemple si $a=4$ :

$4^1\equiv 4\;\;[7]$

$4^{2}\equiv 16\equiv 2\;\;[7]$

$4^3\equiv 4\times 2\equiv 8\equiv 1\;\;[7]$

et 3 est bien le plus petit entier non nul $k$ (il divise 6 et c' est bien normal) tel que $4^k=1\;\;[7]$

Autrement dit, l' ordre de 4 modulo 7 est 3.

Posté par re : DM congruence et nombre premier 16-10-10 à 12:36

D'accord j'ai compris donc je peut conclure que l'ordre de 2[7] est 3
                                                "         "3[7] est 6
                                                "         "5[7] est 6
                                                "         "6[7] est 2

Et pour le 3);pourquoi avoir décomposer 2011 avec une fois 3,6 ou 2

Posté par re : DM congruence et nombre premier 16-10-10 à 13:13

Citation :
3)pourquoi avoir décomposer 2011 avec une fois 3,6 ou 2

Mais pour utiliser l' ordre de 2,3,4,5,6 modulo 7 qui est respectivement 3,6,3,6,2

Par exemple avec $a=5$ , l' ordre est 6

On sait que $5^6\equiv 1\;\;[7]$

et $2011=6\times 335 +1$

donc $5^{2011}=5^{6\times 335+1}=(5^6)^{335}\times 5$

et $5^{2011}\equiv 1^{335}\times 5\equiv 5\;\;[7]$

sans ce "raccourci", je te souhaite bien du plaisir pour trouver le reste de la division euclidienne de $5^{2011}$ par 7...

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