Bonjour, j'ai un dm à rendre pour lundi, et je n'arrive pas vraiment à trouver des solutions, le problème c'est qu'il est pour bientot et je fais encore une fois apelle à vous pour m'aider. J'éspère que vous aprecierez cet exercice ^^
Soit la fonction f : x--->f(x)= f(x)= sinx/x
1) Montrer que la fonction f est paire, c'est à dire : pour tout x réel f(-x)=f(x)
2) Calculer f(x) pour x=0.1 ; 0.05 ; 0.01 ; 0.005 ; 0.001. Que peut-on conjecturer ?
3) Soit x un nombre compris entre 0 et pi/2 ; x different de 0 et M le point du cercle trigonométrique associé à x. Comparer l'aire des triangles (OCM) et (OAT) et l'aire du secteur angulaire ( OAM).
4) Calculer en fonction de x l'aire des triangles (OCM) et (OAT) et l'aire du secteur angulaire ( OAM)
5 ) En déduire la double inégalité :
cos x inferieur ou = à sinx/x inferieur ou égal à 1/cos x
6) Montrer que l'inégalité précédente est vérifiée pour x compris entre -pi/2 et 0.
7) Que se passe t il lorsque x tend vers 0 ? Expliquer !
8) Soit la fonction : g : x ----> g(x) = sin x ; Calculer g'(0). Expliquer !
Qu'est ce que tu n'arrives pas à faire là dedans ?
Pour la première question, je te rappelle que sin(-x)=-sin(x)
Merci aussi de préciser à quoi correspondent les points A,C,T ...
Bonsoir,
1) tu peux le faire : indication la fonction sinus est impaire.
2) utilisation de la calculatrice n'aurait-on pas l'impression que cela se rapproche d'une valeur (c'est la conjecture...)
3)euh c'est quoi C et A et T
Salut
Oups, j'ai oublié de préciser : C correspond au sommet à angle droit du trinagle OMC, et A est le point sur les abscisses en 1
T est le sommet du trinagle rectangle OAT rectangle en A
vala ^^
ET bien déjà, je ne comprend pas trop ce qu'il y a à conjecturer à la question 2 :s
Qu'as-tu trouvé pour les différentes valeurs de f(x) ?
Ne se "rapprochent-elles" pas d'un nombre fixe ?
Et bien j'ai trouvé0.998
0.9996
0.9998
0.99996
0.999998
soit, f(x) se raproche de 1, mais pour moi, c'est pas une conjecture ça :s
Une conjecture consiste à "deviner" un résultat.
Il faut ensuite le démontrer. C'est l'objet de la question suivante.
Bien, voilà ma progression, je ne sais pas si c'est juste
1) Sachant que la fonction sinus est impaire, sin(-x)=-sinx.
Donc si x est négatif, les deux moins au dénominateur et au numérateur s'annuleront, donc la fonction f(x) sera paire.
2) ( les résultats numériques sont ci dessus)
On peut conjecteurer que lorsque l'on remplace x lorsque x tend vers 0, on obtiens f(x) qui tend vers 1.
3) AireOCM<aireOAM<aireOAT ( je ne sais pas si c'est ainsi que l'on compare, et s'il faut une justification :s )
4) OC = cosx et CM= sin x
Donc l'Aire du triangle OCM = ( cosx*sinx ) /2 soit o<AireOCM< (cos pi/2*sin pi/2) /2
vala pour le moment ^^ dite moi si c'est juste et s'il y a des choses à ajouter ou modifier :s
merci ^^
Suite 4)
Aire d'un cercle : pi*rayon^2, soit pour 2pi
donc l'aire pour pi/2 = x
x=(pi*pi/2)/2pi donc x vaut pi/4
donc pour l'aire du secteur angulaire OAM :
0<AireOAM< pi/4
l'aire de OAT = (1* AT) /2
AT= sinx/cosx, donc
0<aireOAT< (tan pi/2)/2
Pour la questionD, je n'ai absolument pas compris comment arrier à ce résultat :s help me please :'(
A mon avis, la rédaction de 1) est perfectible. Je propose :
Le domaine de définition de f est symétrique par rapport à 0.
De plus, puisque la fonction sinus est impair :
pour tout x non nul, f(-x)=sin(-x)/(-x)=-sin(x)/(-x)=sin(x)/x=f(x)
donc f est paire
Ta rédaction de 2) est incompréhensible.
Plus simplement : "on conjecture que, lorsque x tend vers 0, f(x) tend vers 1"
Tu nous ne as toujours pas dit où se trouvent C et T !
Ton "C correspond au sommet à angle droit du trinagle OMC, et A est le point sur les abscisses en 1
T est le sommet du trinagle rectangle OAT rectangle en A
" est incompréhensible.
Il y a une infinité de positions possibles pour C et T...
Hum, ça serais plus facile si je vous faisait un dessin, mais je ne sais pas comment inserer une image :s
Je vais vite être lassé de jouer aux devinettes...
C et T sont-ils sur l'axe des abscisses ? des ordonnées ? ailleurs ?
Voilà, je ne peux pas faire plus claire ^^
m*** le O est un peu décalé, il va au centre. et l'interesection sur l'abscisse correspond à C... mon déssin a un peu été mofigier :s dsl :s
Tu dis :
"Donc l'Aire du triangle OCM = ( cosx*sinx ) /2 soit o
Le début est vrai (aire de OCM).
La fin est archi-fausse. Cela serait vrai si x -> cosx sinx /2 était une fonction croissante. Mais ce n'est pas le cas. D'ailleurs, je te rappelle que cos pi/2 = 0.
Donc la fin de ta phrase signifie : 0 < AireOCM < 0
Que valent les 2 autres aires ?
Aire secteur OAM = rayon * angle au centre = x
Aire OAT = OA.AT/2 = AT/2
Or tan x = AT/OA donc AT = tanx = sinx/cosx
Donc...
Tu dois pouvoir en déduire l'inégalité proposée.
Et bien j'ai pensé qu'il été possible de noté ce que tu dis faux.. parce que c'était sensé être plus petit mais j'ai pas pensé qu'on pouvais directement l'assimiler à 0.
Roh, je suis nule !
Voilà pour l'aire de OAM :
0<AireOAM< pi/4
ET pour OAT, je crois que c'est denouveau faux, car tan de pi/2 n'existe pas :s
0<aireOAT< (tan pi/2)/2
Arrête de faire ces pseudo-encadrements inutiles et faux !
On te demande l'expression de ces aires en fonction de x !
L'énoncé est pourtant clair.
Aire(OCM) = cos(x)sin(x)/2
Aire(secteur OAM)=...
Aire(OAT)=...
(Je t'ai presque donné toutes les solutions ci-dessus )
Nicolas
Ah, je pensais qu'il fallait encadrer, bon, alors je vois comment il faut faire, merci bien Nicolas, et désolé de t'avoir embété hein ^^
Pour la question 4), personne ne t'a jamais demandé d'encadrer...
Tu ne m'embêtes pas. Je suis là pour t'aider. Néanmoins, fais attention de ton côté à bien lire l'énoncé... N'hésite pas à poster plus tard tes résultats si tu veux une confirmation.
Pour la question 5 je vois vraiment pas, Nico (ou quelqu'un d'autre ) pourrais tu me donner une pitite piste ?
Tu sais que :
AireOCM =< aireOAM =< aireOAT
Remplace ces 3 aires par leur expression en fonction de x.
Qu'obtiens-tu ?
cos(x)sin(x)/2 < x/2 < tanx/2
mais ça ne ressemble absolument pas à ce l'expression en 5 :s
Bingo, ça marche ^^, j'ai juste un petit souci au sujet des inferieur ou égal, je sais pas d'où sort le égal, mais je vais encore un peux chercher
Il y a effectivement une erreur, au mileiu, mais il faudrait obtenir sin²x/2x pour pouvoir multipliser par 2/sinx !
non non non, je désespère je n'arrive pas à trouver ce fichu sinx/x :'( j'ai refais 5 fois les calcul et je trouve toujours pi/2 pour l'aire du secteur angulaire.
mais même en prenant l'aire du secteur angulaire qui vaut x, on obtiens pas sinx/x !
J'ai dit une grosse bêtise pour l'aire du secteur angulaire, en confondant longueur de l'arc et aire.
Reprenons...
Aire(OMC) =< Aire(secteur OAM) =< aire (OAT)
OC.CM/2 =< aire_totale * (angle_au_centre/2pi) =< OA.AT/2
cos(x)sin(x)/2 =< pi*(x/2pi) =< tan(x)/2
cos(x)sin(x)/2 =< x/2 =< tan(x)/2
Comme x est non nul, on peut multiplier chaque membre par 2/sin(x) qui est positif :
cos(x) =< x/sin(x) =< 1/cos(x)
On prend l'inverse de cette inégalité, dont tous les membres sont positifs :
cos(x) =< sin(x)/x =< 1/cos(x)
Je précise pour éviter toute ambiguité et réparer mon erreur :
L'aire d'un secteur angulaire est proportionnelle à l'angle au centre.
Aire du secteur angulaire d'angle au centre alpha
= aire totale du cercle * (alpha/2pi)
Voilà qui explique tout ^^ et bien merci, j'ai bien failli croire que je ne savais plus faire de bete calcule, alors j'avais quand même raison hihi :p
mais je ne comprend pas l'histoire de l'inverse que tu fais dans l'inégalité ... peux tu m'éxpliquer ?
Avec ce calcul, on obtient un encadrement de x/sin(x)
Mais on cherche un encadrement de sin(x)/x, non ?
Dans ce cas, il faut prendre l'inverse de l'inégalité (en n'oubliant pas de changer le sens).
Où est le problème ?
le problème c'est que je ne comprend pas pourquoi tu ne fais pas l'inverse dans tout les membres de l'inéquation :s
Hum, ok, je viens de comprendre en refaisant ton calcul moi même ^^ je suis un peu lente désolé . En ce qui concerne la question 6, j'ai expliqué que lorsque x était compris entre -pi/2 et 0, les 3 aires restaient inchangées, donc que l'on arrivé à la même égalité, ai-je besoin de redemontrer quelques choses d'après toi ou non ?
Je ne suis pas tout à fait d'accord avec toi.
Quand x est négatif, les aires changent.
Ne pas oublier que les longueurs doivent rester positives.
Aire(OMC) = OC.CM/2 = cos(x)[-sin(x)]/2 = -cos(x)sin(x)/2
Aire(secteur OAM) = aire_totale * (angle_au_centre/2pi) = pi*(x/2pi) = -x/2
aire (OAT) = OA.AT/2 = -tan(x)/2
Nicolas
Oui, mais je veux dire, au final on obtenait le même resultat en multipliant par - chauqe aire.
Et pour la question 7, j'ai essayé avec une dérivé, est ce la bonne vois ? car je trouve en résultat lim lorsque x->o sinh/h
je ne penes pas que ça serve à grand chose ^^ on ne sais jamais
Pour la 7), pourquoi veux-tu dériver ?
Vers quoi tend le membre de gauche ?
Et le membre de droite ?
Donc vers quoi tend le membre du milieu, coincé entre les deux ?
oui, effectivemnt, dériver ne sert à rien !
Mais même si j'ai trouvé que cosx tend vers 1, je n'arrive pas à déterminer vers quoi tend 1/cos x.. si ce n'est également vers 1 :s... dans ce cas, sinx/x devrais également tendre vers, un, mais ceci me semble vraiment trop impressie :s
Et pour la question 8), g'(0) représente bien la dérivé de g(x) n'est ce pas ?
Euh...
si f(x) tend vers 1
alors 1/f(x) tend vers 1/1, c'est-à-dire 1
On a donc bien sin(x)/x qui tend vers 1
Je ne vois pas en quoi c'est imprécis.
Et en plus cela correspond à ta conjecture !
est le nombre dérivé de en 0.
D'après ton cours, il est égal à la limite (si elle existe), quand tend vers 0 de :
Donc
oui, mais ça je savais déjà faire, zut :p merci quand même pour l'aide que tu m'a fourni tout au long de cette journée, tu en asde la passiance pour faire ça ^^
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