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Dm : dans le cercle de trigo

Posté par caline_deline (invité) 24-11-05 à 18:02

Bonjour, j'ai un dm à rendre pour lundi, et je n'arrive pas vraiment à trouver des solutions, le problème c'est qu'il est pour bientot et je fais encore une fois apelle à vous pour m'aider. J'éspère que vous aprecierez cet exercice ^^


Soit la fonction f : x--->f(x)= f(x)= sinx/x

1) Montrer que la fonction f est paire, c'est à dire : pour tout x réel f(-x)=f(x)

2) Calculer f(x) pour x=0.1 ; 0.05 ; 0.01 ; 0.005 ; 0.001. Que peut-on conjecturer ?

3) Soit x un nombre compris entre 0 et pi/2 ; x different de 0 et M le point du cercle trigonométrique associé à x. Comparer l'aire des triangles (OCM) et (OAT) et l'aire du secteur angulaire ( OAM).

4) Calculer en fonction de x l'aire des triangles (OCM) et (OAT) et l'aire du secteur angulaire ( OAM)
5 ) En déduire la double inégalité :

cos x inferieur ou = à sinx/x inferieur ou égal à 1/cos x

6) Montrer que l'inégalité précédente est vérifiée pour x compris entre -pi/2 et 0.

7) Que se passe t il lorsque x tend vers 0 ? Expliquer !

8) Soit la fonction : g : x ----> g(x) = sin x ; Calculer g'(0). Expliquer !

Posté par matthieu1 (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 24-11-05 à 18:05

Qu'est ce que tu n'arrives pas à faire là dedans ?

Pour la première question, je te rappelle que sin(-x)=-sin(x)

Merci aussi de préciser à quoi correspondent les points A,C,T ...

Posté par
dad97 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 24-11-05 à 18:06

Bonsoir,

1) tu peux le faire : indication la fonction sinus est impaire.
2) utilisation de la calculatrice n'aurait-on pas l'impression que cela se rapproche d'une valeur (c'est la conjecture...)
3)euh c'est quoi C et A et T

Salut

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 24-11-05 à 18:09

Oups, j'ai oublié de préciser : C correspond au sommet à angle droit du trinagle OMC, et A est le point sur les abscisses en 1
T est le sommet du trinagle rectangle OAT rectangle en A
vala ^^

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 25-11-05 à 19:13

ET bien déjà, je ne comprend pas trop ce qu'il y a à conjecturer à la question 2 :s

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 26-11-05 à 04:15

Qu'as-tu trouvé pour les différentes valeurs de f(x) ?
Ne se "rapprochent-elles" pas d'un nombre fixe ?

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 26-11-05 à 07:29

Et bien j'ai trouvé0.998
0.9996
0.9998
0.99996
0.999998

soit, f(x) se raproche de 1, mais pour moi, c'est pas une conjecture ça :s

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 26-11-05 à 07:41

Une conjecture consiste à "deviner" un résultat.
Il faut ensuite le démontrer. C'est l'objet de la question suivante.

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 26-11-05 à 18:05

Bien, voilà ma progression, je ne sais pas si c'est juste

1) Sachant que la fonction sinus est impaire, sin(-x)=-sinx.
Donc si x est négatif, les deux moins au dénominateur et au numérateur s'annuleront, donc la fonction f(x) sera paire.

2) ( les résultats numériques sont ci dessus)
On peut conjecteurer que lorsque l'on remplace x lorsque x tend vers 0, on obtiens f(x) qui tend vers 1.

3) AireOCM<aireOAM<aireOAT ( je ne sais pas si c'est ainsi que l'on compare, et s'il faut une justification :s )

4) OC = cosx et CM= sin x
Donc l'Aire du triangle  OCM = ( cosx*sinx ) /2 soit o<AireOCM< (cos pi/2*sin pi/2) /2



vala pour le moment ^^ dite moi si c'est juste et s'il y a des choses à ajouter ou modifier :s
merci ^^

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 09:21

Suite 4)
Aire d'un cercle : pi*rayon^2, soit pour 2pi
donc l'aire pour pi/2 = x

x=(pi*pi/2)/2pi donc x vaut pi/4
donc pour l'aire du secteur angulaire OAM :
0<AireOAM< pi/4

l'aire de OAT = (1* AT) /2
AT= sinx/cosx, donc

0<aireOAT< (tan pi/2)/2

Pour la questionD, je n'ai absolument pas compris comment arrier à ce résultat :s help me please :'(

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 09:22

la question 5*, excusez moi ^^

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 09:47

A mon avis, la rédaction de 1) est perfectible. Je propose :
Le domaine de définition de f est symétrique par rapport à 0.
De plus, puisque la fonction sinus est impair :
pour tout x non nul, f(-x)=sin(-x)/(-x)=-sin(x)/(-x)=sin(x)/x=f(x)
donc f est paire

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 09:48

Ta rédaction de 2) est incompréhensible.
Plus simplement : "on conjecture que, lorsque x tend vers 0, f(x) tend vers 1"

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 09:52

Tu nous ne as toujours pas dit où se trouvent C et T !
Ton "C correspond au sommet à angle droit du trinagle OMC, et A est le point sur les abscisses en 1
T est le sommet du trinagle rectangle OAT rectangle en A
"
est incompréhensible.
Il y a une infinité de positions possibles pour C et T...

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 10:04

Hum, ça serais plus facile si je vous faisait un dessin, mais je ne sais pas comment inserer une image :s

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 10:07

Je vais vite être lassé de jouer aux devinettes...
C et T sont-ils sur l'axe des abscisses ? des ordonnées ? ailleurs ?

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 10:14

Voilà, je ne peux pas faire plus claire ^^

Dm : dans le cercle de trigo

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 10:16

m*** le O est un peu décalé, il va au centre. et l'interesection sur l'abscisse correspond à C... mon déssin a un peu été mofigier :s dsl :s

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 10:21

Tu dis :
"Donc l'Aire du triangle OCM = ( cosx*sinx ) /2 soit o
Le début est vrai (aire de OCM).
La fin est archi-fausse. Cela serait vrai si x -> cosx sinx /2 était une fonction croissante. Mais ce n'est pas le cas. D'ailleurs, je te rappelle que cos pi/2 = 0.
Donc la fin de ta phrase signifie : 0 < AireOCM < 0

Que valent les 2 autres aires ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 10:23

Aire secteur OAM = rayon * angle au centre = x

Aire OAT = OA.AT/2 = AT/2
Or tan x = AT/OA donc AT = tanx = sinx/cosx
Donc...

Tu dois pouvoir en déduire l'inégalité proposée.

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 10:25

Et bien j'ai pensé qu'il été possible de noté ce que tu dis faux.. parce que c'était sensé être plus petit mais j'ai pas pensé qu'on pouvais directement l'assimiler à 0.
Roh, je suis nule !

Voilà pour l'aire de OAM :
0<AireOAM< pi/4

ET pour OAT, je crois que c'est denouveau faux, car tan de pi/2 n'existe pas :s
0<aireOAT< (tan pi/2)/2

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 10:32

Arrête de faire ces pseudo-encadrements inutiles et faux !
On te demande l'expression de ces aires en fonction de x !
L'énoncé est pourtant clair.

Aire(OCM) = cos(x)sin(x)/2
Aire(secteur OAM)=...
Aire(OAT)=...
(Je t'ai presque donné toutes les solutions ci-dessus )

Nicolas

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 10:37

Ah, je pensais qu'il fallait encadrer, bon, alors je vois comment il faut faire, merci bien Nicolas, et désolé de t'avoir embété hein ^^

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 10:43

Pour la question 4), personne ne t'a jamais demandé d'encadrer...

Tu ne m'embêtes pas. Je suis là pour t'aider. Néanmoins, fais attention de ton côté à bien lire l'énoncé... N'hésite pas à poster plus tard tes résultats si tu veux une confirmation.

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 10:59

Pour la question 5 je vois vraiment pas, Nico (ou quelqu'un d'autre ) pourrais tu me donner une pitite piste ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 11:04

Tu sais que :
AireOCM =< aireOAM =< aireOAT
Remplace ces 3 aires par leur expression en fonction de x.
Qu'obtiens-tu ?

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 11:06

cos(x)sin(x)/2 < x/2 < tanx/2

mais ça ne ressemble absolument pas à ce l'expression en 5 :s

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 11:21

Même en multipliant par 2/sin(x) chaque membre ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 11:24

Attention :
a) cela ne devrait pas être "x" au milieu de l'inégalité ?
b) ce sont des =< pas des <

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 11:28

Bingo, ça marche ^^, j'ai juste un petit souci au sujet des inferieur ou égal, je sais pas d'où sort le égal, mais je vais encore un peux chercher

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 11:32

Cela devrait être des =< depuis le début.
C'est toi qui a introduit des <

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 11:42

Il y a effectivement une erreur, au mileiu, mais il faudrait obtenir sin²x/2x pour pouvoir multipliser par 2/sinx !

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 12:03

non non non, je désespère je n'arrive pas à trouver ce fichu sinx/x :'( j'ai refais 5 fois les calcul et je trouve toujours pi/2 pour l'aire du secteur angulaire.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 13:34

De quoi parles-tu ?
L'aire du secteur angulaire vaut x, pas pi/2.
Je l'ai montré à 10h23.

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 13:53

mais même en prenant l'aire du secteur angulaire qui vaut x, on obtiens pas sinx/x !

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 13:54

J'ai dit une grosse bêtise pour l'aire du secteur angulaire, en confondant longueur de l'arc et aire.

Reprenons...

Aire(OMC) =< Aire(secteur OAM) =< aire (OAT)

OC.CM/2 =< aire_totale * (angle_au_centre/2pi) =< OA.AT/2

cos(x)sin(x)/2 =< pi*(x/2pi) =< tan(x)/2

cos(x)sin(x)/2 =< x/2 =< tan(x)/2

Comme x est non nul, on peut multiplier chaque membre par 2/sin(x) qui est positif :

cos(x) =< x/sin(x) =< 1/cos(x)

On prend l'inverse de cette inégalité, dont tous les membres sont positifs :

cos(x) =< sin(x)/x =< 1/cos(x)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 13:55

Je précise pour éviter toute ambiguité et réparer mon erreur :

L'aire d'un secteur angulaire est proportionnelle à l'angle au centre.

Aire du secteur angulaire d'angle au centre alpha
= aire totale du cercle * (alpha/2pi)

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 14:19

Voilà qui explique tout ^^ et bien merci, j'ai bien failli croire que je ne savais plus faire de bete calcule, alors j'avais quand même raison hihi :p
mais je ne comprend pas l'histoire de l'inverse que tu fais dans l'inégalité ... peux tu m'éxpliquer ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 14:23

Avec ce calcul, on obtient un encadrement de x/sin(x)
Mais on cherche un encadrement de sin(x)/x, non ?
Dans ce cas, il faut prendre l'inverse de l'inégalité (en n'oubliant pas de changer le sens).
Où est le problème ?

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 14:30

le problème c'est que je ne comprend pas pourquoi tu ne fais pas l'inverse dans tout les membres de l'inéquation :s

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 14:57

Hum, ok, je viens de comprendre en refaisant ton calcul moi même ^^ je suis un peu lente désolé . En ce qui concerne la question 6, j'ai expliqué que lorsque x était compris entre -pi/2 et 0, les 3 aires restaient inchangées, donc que l'on arrivé à la même égalité, ai-je besoin de redemontrer quelques choses d'après toi ou non ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 15:22

Je ne suis pas tout à fait d'accord avec toi.

Quand x est négatif, les aires changent.

Ne pas oublier que les longueurs doivent rester positives.

Aire(OMC) = OC.CM/2 = cos(x)[-sin(x)]/2 = -cos(x)sin(x)/2
Aire(secteur OAM) = aire_totale * (angle_au_centre/2pi) = pi*(x/2pi) = -x/2
aire (OAT) = OA.AT/2 = -tan(x)/2

Nicolas

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 15:42

Oui, mais je veux dire, au final on obtenait le même resultat en multipliant par - chauqe aire.
Et pour la question 7, j'ai essayé avec une dérivé, est ce la bonne vois ? car je trouve en résultat lim lorsque x->o sinh/h
je ne penes pas que ça serve à grand chose ^^ on ne sais jamais

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 16:03

Pour la 7), pourquoi veux-tu dériver ?
Vers quoi tend le membre de gauche ?
Et le membre de droite ?
Donc vers quoi tend le membre du milieu, coincé entre les deux ?

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 16:17

oui, effectivemnt, dériver ne sert à rien !

Mais même si j'ai trouvé que cosx tend vers 1, je n'arrive pas à déterminer vers quoi tend 1/cos x.. si ce n'est également vers 1 :s... dans ce cas, sinx/x devrais également tendre vers, un, mais ceci me semble vraiment trop impressie :s

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 16:22

Et pour la question 8), g'(0) représente bien la dérivé de g(x) n'est ce pas ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 16:22

Euh...
si f(x) tend vers 1
alors 1/f(x) tend vers 1/1, c'est-à-dire 1

On a donc bien sin(x)/x qui tend vers 1
Je ne vois pas en quoi c'est imprécis.
Et en plus cela correspond à ta conjecture !

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 16:27

g'(0) est le nombre dérivé de g en 0.
D'après ton cours, il est égal à la limite (si elle existe), quand x tend vers 0 de :
\frac{\sin(0+x)-\sin(0)}{(0+x)-0}=\frac{\sin x}{x}\to 1
Donc g'(0)=1

Posté par caline_deline (invité)re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 16:30

oui, mais ça je savais déjà faire, zut :p merci quand même pour l'aide que tu m'a fourni tout au long de cette journée, tu en asde la passiance pour faire ça ^^

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : Dm : dans le cercle de trigo 27-11-05 à 16:32

Je t'en prie
Et désolé de ma bourde sur les aires de secteurs...



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