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Niveau Maths sup
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DM de geometrie

Posté par alexghess (invité) 30-12-05 à 16:51

Salut j'ai un dm de maths a rendre pour mardi et j'ai besoin d'aide pour le faire

Exercice 1
Dans un plan affine usuel, soient P une parabole, F son foyer, O son sommet.Une droite variable passant par F coupe P en deux points M et N.Determiner le lieu de l'orthocentre du triangle OMN.

Exercice 2
Soient a un nombre reel positif et A le point de coordonnees(a,0).A tout point P de l'axe(Oy) on associe les points M1 et M2 de la droite (AP) verifiant:
PM1=PM2=OP.On note S l'ensemble des points M1 et M2 ainsi obtenus.
a)Determiner une equation polaire de S
b)On note le cercle de centre A, de rayon a et la droite d'équation x=a.Soit MS.On note B l'interection de (OM) et de (autre que O) et C l'intersection de et de la tangente en B à  .Enfin on note T le symetrique de C par rapport à B.
Montrer que la droite (MT) est tangente à S au point M

Pour l'excercice 2 la prof a donné comme indication que la courbe a pour rayon:r=a [cos(2)/cos()] privé du point A

je vous remercie d'avance pour votre aide

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : DM de geometrie 01-01-06 à 01:25

Bonsoir alexghess;
exercice 1:
Munissons le plan  (\scr P) du repére orthonormé direct (O,\vec{i},\vec{j}) où on prendra \fbox{\vec{i}=\vec{OF}} notons \fbox{(D){:}x=-1} la directrice de la parabole (P) et rappelons que celle ci est définie par \fbox{(P)=\{M\in(\scr P)/d(M,(D))=MF\}} et il est alors facile de vérifier que \fbox{y^2=4x} est une équation cartésienne de (P) dans le repére (O,\vec{i},\vec{j}).
Si (\Delta) est une droite (variable) passant par F et coupant (P) respectivement en M et N (on prendra M d'ordonnée positive) il est facile de vérifier que si \fbox{M\(\frac{y^2}{4}\\y\)} alors \fbox{N\(\frac{4}{y^2}\\-\frac{4}{y}\)} et on voit alors que 3$\blue\fbox{\vec{OM}.\vec{ON}=-3}.
Désignons par O'\hspace{5},\hspace{5}M'\hspace{5}et\hspace{5}N' respectivement les pieds des hauteurs du triangle OMN issues de O\hspace{5},\hspace{5}M\hspace{5}et\hspace{5}N et soit H l'orthocentre du triangle OMN on a alors (en remarquant que O est l'orthocentre du triangle MNH) 3$\blue\fbox{\vec{OO'}.\vec{OH}=\vec{OM}.\vec{OM'}=\vec{ON}.\vec{ON'}=\vec{OM}.\vec{ON}=-3}
La relation 3$\blue\fbox{\vec{OO'}.\vec{OH}=-3\\O\hspace{5},\hspace{5}O'\hspace{5}et\hspace{5}H\hspace{5}alignes} montre que H est l'image de O' dans l'inversion plane de pole O et de puissace -3 et il ne reste plus (pour conclure) qu'à remarquer que O' se déplace sur le cercle de diamétre [OF].
Conclusion:
Le lieu de l'orthocentre du triangle OMN est la droite 3$\red\fbox{x=-3}.

Sauf erreurs bien entendu



Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : DM de geometrie 01-01-06 à 14:22

exercice 2:
(*)équation polaire de S:
On a dans le triangle OM_1M_2 \fbox{sin(\theta)=\frac{r}{M_1M_2}=\frac{r}{2OP}}
et dans le triangle OAP \fbox{tan(2\theta)=\frac{a}{OP}}
d'où 3$\fbox{r=2a\frac{sin(\theta)}{tan(2\theta)}=a\frac{cos(2\theta)}{cos(\theta)}}
On remarquera que S est symétrique par rapport à l'axe des abscisses \fbox{r(-\theta)=r(\theta)} et que les valeurs \fbox{2k\pi\\k\in\mathbb{Z}} ne sont pas prises \fbox{PM_1=OP<PA} une équation polaire de S est donc celle de la courbe polaire 3$\fbox{r=a\frac{cos(2\theta)}{cos(\theta)}} privée du point A(a,0).
Sauf erreurs...



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