Niveau Maths sup

DM de geometrie

Posté par alexghess (invité) 30-12-05 à 16:51

Salut j'ai un dm de maths a rendre pour mardi et j'ai besoin d'aide pour le faire

Exercice 1
Dans un plan affine usuel, soient P une parabole, F son foyer, O son sommet.Une droite variable passant par F coupe P en deux points M et N.Determiner le lieu de l'orthocentre du triangle OMN.

Exercice 2
Soient a un nombre reel positif et A le point de coordonnees(a,0).A tout point P de l'axe(Oy) on associe les points M1 et M2 de la droite (AP) verifiant:
PM1=PM2=OP.On note S l'ensemble des points M1 et M2 ainsi obtenus.
a)Determiner une equation polaire de S
b)On note le cercle de centre A, de rayon a et la droite d'équation x=a.Soit MS.On note B l'interection de (OM) et de (autre que O) et C l'intersection de et de la tangente en B à .Enfin on note T le symetrique de C par rapport à B.
Montrer que la droite (MT) est tangente à S au point M

Pour l'excercice 2 la prof a donné comme indication que la courbe a pour rayon:r=a [cos(2)/cos()] privé du point A

je vous remercie d'avance pour votre aide

Posté par re : DM de geometrie 01-01-06 à 01:25

Bonsoir alexghess;
exercice 1:
Munissons le plan $(\scr P)$ du repére orthonormé direct $(O,\vec{i},\vec{j})$ où on prendra $\fbox{\vec{i}=\vec{OF}}$ notons $\fbox{(D){:}x=-1}$ la directrice de la parabole $(P)$ et rappelons que celle ci est définie par $\fbox{(P)=\{M\in(\scr P)/d(M,(D))=MF\}}$ et il est alors facile de vérifier que $\fbox{y^2=4x}$ est une équation cartésienne de $(P)$ dans le repére $(O,\vec{i},\vec{j})$ .
Si $(\Delta)$ est une droite (variable) passant par $F$ et coupant $(P)$ respectivement en $M$ et $N$ (on prendra $M$ d'ordonnée positive) il est facile de vérifier que si $\fbox{M$\frac{y^2}{4}\\y$}$ alors $\fbox{N$\frac{4}{y^2}\\-\frac{4}{y}$}$ et on voit alors que $3$\blue\fbox{\vec{OM}.\vec{ON}=-3}$ .
Désignons par $O'\hspace{5},\hspace{5}M'\hspace{5}et\hspace{5}N'$ respectivement les pieds des hauteurs du triangle $OMN$ issues de $O\hspace{5},\hspace{5}M\hspace{5}et\hspace{5}N$ et soit $H$ l'orthocentre du triangle $OMN$ on a alors (en remarquant que O est l'orthocentre du triangle $MNH$ ) $3$\blue\fbox{\vec{OO'}.\vec{OH}=\vec{OM}.\vec{OM'}=\vec{ON}.\vec{ON'}=\vec{OM}.\vec{ON}=-3}$
La relation $3$\blue\fbox{\vec{OO'}.\vec{OH}=-3\\O\hspace{5},\hspace{5}O'\hspace{5}et\hspace{5}H\hspace{5}alignes}$ montre que $H$ est l'image de $O'$ dans l'inversion plane de pole $O$ et de puissace $-3$ et il ne reste plus (pour conclure) qu'à remarquer que $O'$ se déplace sur le cercle de diamétre $[OF]$ .
Conclusion:
Le lieu de l'orthocentre du triangle $OMN$ est la droite $3$\red\fbox{x=-3}$ .

Sauf erreurs bien entendu

Posté par re : DM de geometrie 01-01-06 à 14:22

exercice 2:
(*)équation polaire de S:
On a dans le triangle $OM_1M_2$ $\fbox{sin(\theta)=\frac{r}{M_1M_2}=\frac{r}{2OP}}$
et dans le triangle $OAP$ $\fbox{tan(2\theta)=\frac{a}{OP}}$
d'où $3$\fbox{r=2a\frac{sin(\theta)}{tan(2\theta)}=a\frac{cos(2\theta)}{cos(\theta)}}$
On remarquera que $S$ est symétrique par rapport à l'axe des abscisses $\fbox{r(-\theta)=r(\theta)}$ et que les valeurs $\fbox{2k\pi\\k\in\mathbb{Z}}$ ne sont pas prises $\fbox{PM_1=OP<PA}$ une équation polaire de $S$ est donc celle de la courbe polaire $3$\fbox{r=a\frac{cos(2\theta)}{cos(\theta)}}$ privée du point $A(a,0)$ .
Sauf erreurs...

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