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Dm de maths
On considère la fonction f définie sur [0;+inf[ par f(x)= ln(x+3)/x+3
1.Montrer que f est dérivable sur [0,+inf[.Étudier le signe de sa fonction dérivée f', sa limite éventuelle en +inf, dresser tableau de variations.
f'(x)=-ln(x+3)/x+3)^2 f(x) est croissante sur [0;+inf[ et limite en +inf f(x)=0
2.On définit la suite (Un) n>/=0 par son terme général:
Un= intégrale de n à n+1 f(x) dx
a.Justifier que si n<=x<=n+1, alors f(n+1)<=f(x)<=f(n)
Ça j'ai trouvé
b.Montrer, sans chercher à calculer Un, que pour tout entier naturel n :
f(n+1)<=Un<=f(n)
c.En déduire que la suite (Un) est convergente et déterminer sa limite.
ben je sais pas
Pouvez vous m'aidez SVP merci d'avance.
Bonjour,
Tu as un théorème d'intégration classique : si sur un intervalle [a,b], a < b, une fonction f(x) est minorée par m et majorée par M, alors :
m(b-a) 
abf(x)dx M(b-a)
Tu l'appliques ici avec a = n, b = n+1, m = f(n), M = f(n+1)
tu peux écrire m = f(n) et M = f(n+1) car f(x) est croissante
Correction :
Tu as écrit une erreur, et je t'ai suivie.
Ta dérivée est fausse :
f'(x) = ((x+3)/(x+3)-ln(x+3))/(x+3)² = (1-ln(x+3))/(x+3)²
pour x 
0, tu as ln(x+3) ln(3) > 1, donc f'(x) est < 0, et f est donc décroissante.
Du coup, dans mon post précédent il faut inverser les valeurs de m et N :
m = f(n+1) et M = f(n)
et c'est bien conforme à ce qu'on t'a demandé de démontrer.
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