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Niveau cinquième
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dm de maths

Posté par
laura58000
29-10-13 à 15:11

le nombre 27 peut s'écrire de plusieurs façons , comme une somme d'entiers naturels.
par exemple:27=2+5+7+13.
trouve parmi toutes ces somme, celle dont le produit des termes est maximum.
Et avec d'autres nombres comme 41?
pouvez vous m'aider a repondre

Posté par
viveladrome
re : dm de maths 29-10-13 à 17:54

plutot long et difficile pour un eleve de 5ème cet exercice...
as-tu essayé d'ecrire toute les sommes qui ont pour résultat 27 ?

Posté par
LeoDarking
même exercice 05-02-14 à 19:30

oui moi j'ai écrit toutes les sommes

A quoi ça va servir ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : dm de maths 05-02-14 à 21:02

Bonsoir,

Ah bon ???? tu as réellement écrit les 3009 façons d'écrire 27 comme somme d'entiers non nuls ???
(3010 en comptant la somme "0 + 27")

a mon, avis tu en a oublié un énorme paquet, oui...

soyons plus moodeste et contentons nous d'écrire les 14 façons d'écrire seulement 7 comme somme d'entiers non nuls.

1 + 6 produit = 6
2 + 5 produit = 10
3 + 4 produit = 12 ****
1 + 1 + 5 produit = 5
1 + 2 + 4 produit = 8
1 + 3 + 3 produit = 9
2 + 2 + 3 produit = 12 ****
1 + 1 + 1 + 4 produit = 4
1 + 1 + 2 + 3 produit = 6
1 + 2 + 2 + 2 produit = 8
1 + 1 + 1 + 1 + 3 produit = 3
1 + 1 + 1 + 2 + 2 produit = 4
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 produit = 2
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 produit = 1

il y a ici donc deux solutions pour le produit maximum
ce n'est pas toujours le cas et ce problème dépasse les possibilités du niveau 5ème (France) pour N = 27 avec ses 3009 sommes possibles.
(il faut faire un programme et pouvoir lui faire confiance, donc vérifier / prouver qu'il fonctionne sans oublier de cas)

La solution optimale est de découper ça en n/e, où e = 2.71828.. est le nombre d'Euler, sommants à peu près égaux

7/e = 2.58 et donc découpe en 2 ou 3 ce qui correspond aux solutions observées

avec N = 27 : 27/e = 9.93 et donc il faut répartir 27 en une somme de 9 ou 10 termes "à peu près égaux"

en 9 termes valant donc 3 chacun on a
27 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
et le produit 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 3^9 = 19683

en 10 termes :
il y en aura qui vallent 2 et d'autres 3
soit 7 qui vallent 3 et 3 qui vallent 2 et on obtient un produit inférieur :
2^3 * 3^7 = 17496

avec 41 il y a 44582 sommes possibles.

Posté par
thecrust
re : dm de maths 14-02-14 à 17:01

j'ai le meme probleme pouvez vous me dire la solution avec 23

Posté par
thecrust
re : dm de maths 14-02-14 à 17:55

non c'est jai trouve



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