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DM de maths
Partie A
Soit Cm la fonction définie sur [0;6000] par :
Cm(q)= 0.8 + 4(1-0.002q)e^-0.002q
Cette fonction traduit le coût marginal quotidien d'une usine pour la fabrication d'un produit chimique sous forme liquide . La quantité de produit q est exprimée en litres et Cm(q) est exprimé en euros .
1) Dresser le tableau de variation de Cm ; la valeur de Cm(1000) figurera dans le tableau .
En déduire le signe de Cm(q) sur [0;6000] .
2)a) Démontrer que la fonction définie sur [0;6000] par :
g(q) = 4qe^-0.002q
admet pour fonction dérivée la fonction définie par :
g'(q) = 4(1-0.002q)e^-0.002q .
b) La fonction coût marginal est la fonction dérivée de la fonction coût total . Sachant que les coûts fixes Ct(0) s'élèvent à un millier d'euros , déterminer la fonction Ct traduisant le coût total en fonction de q .
3)a) Déterminer les varitions de Ct sur [0;6000] en utilisant la question 1)
b) Représenter la fonction coût total dans le plan muni d'un repère orthonormé ( O ; î ; j ) ( unités graphiques : 2cm pour 1000 en abscisses et 10 cm pour 1 en ordonnée .)
Partie B
Le prix de vente de ce liquide est de 1.8 euros par litre . La fabrication quotidienne est vendue en totalité .
1)a) Représenter sur le graphique précédent la fonction traduisant la recette quotidienne .
b) Démontrer que le bénéfice B(q) s'exprime par :
B(q) = q - 1000 - 4qe^-0.002q .
2) Soit la fonction h définie sur[0;6000] par :
h(q) = 1.8 - Cm(q)
a) Etudier les variations de h en utilisant celles de Cm .
b) Démontrer que l'équation h(q) = 0 a une unique solution S sur [0;1000]
c) En déduire le signe de h(q) pour q appartenant à [0;6000]
3)a) En utilisant la question précédente , donner les variations de B .
b) Donner une valeur approchée de B(S) à l'unité près en prenant 280 comme valeur approchée de S .
Que représente cette valeur pour cette usine ?
Voilà je suis en terminale et j'ai ce devoir à rendre pour Lundi . Comme je suis perdue avec les exponentielles j'espère que quelqu'un sur ce forum pourra m'aider à le faire .
Bonjour rebecca83,
il faut que tu saches que ce forum n'est pas une poubelle à devoirs ...
Fais preuve de bonne volonté en nous expliquant ce que tu as déjà fait et les pistes explorées pour ce qui n'a pas été fait.
Pookette 
y en a un peu marre des problèmes posté en bloc!!
Si tu veux de l'aide chercche un peu et pose question par question ...
Louis
PS ceci est vrai dans le cas général!
j'ai fait la question 1 donc j'ai essayé de dériver et je suis arrivée à :
-4*0.002(1+1-0.002q)e^-0.002q donc j'en conclue que de 0 à 1000 la fonction est décroissante et ensuite croissante de 1000 à 6000 . Mais je ne suis pas sure du tout et c'est tout ce que je pense savoir faire . En plus je ne sais même pas ce qu'est un coût marginal
partie A
1)
Cm(q)= 4((1-0.002q)'e(-0.002q)+(1-0.002q)e(-0.002q)'
=4 ((-0.002)e (-0.002q) + (1-0.002q)(-0.002)e(-0.002q))
= 4e(-0.002q)(-0.002+ (1-0.002q)(-0.002))
= 4 e(-0.002q)(-0.002-0.002+0.000004q)
= 4 e (-0.002q) (-0.004 +0.000004q)
étude de signe
4 e (-0.002q) toujours positive
-0.004 +0.000004 q>0 si 0.000004 q >0.004 ie si q>1000
tableau de variation
Comme un efonctione de cout marginal peut être négative
- infini 1000 + infini
Cm' - 0 +
Cm décroissant cm (1000) croissant
à calculer
Cm est négatif de pour q 0 à 1000
= 0 pour q =1000
>0 pour q > 1000
2a) g'(q)= (4qe(-0.002q))'=
(4q)'e(-0.002q)+ 4q(-0.002q)'e(-0.002q)
= 4 e(-0.002q) +4 q (-0.002)e(-0.002q)
= 4e (-0.002q)(1 -0.002q)=
=4 (1-0.002q)e(-0.002q)
CQFD
2b) Cm= g'(q) -0.8
Le cout marginal est la dérivée du cout total
le cout total est la primitive du cout marginal
on sait que g est la primitive de g'
CT= g(q) -0.8 q + constante
la constante ets représentée par le cout fixe =1000
CT= g(q) -0.8 q + 1000
CT= 4qe(-0.002q) -0.8 q + 1000
3 a CT va croitre si Cm >0
Cm est négatif de pour q 0 à 1000 CT décroissant
= 0 pour q =1000 stagnation
>0 pour q > 1000 CT croissant
partie B
1 b)
bénéfice = Chiffre d'affaire (ou recette) - cout total=
CA=prix unitaire*q=
CA=1.8 q
B(q) = 1.8 q -(4qe(-0.002q) -0.8 q + 1000)
= 1. 8 q + 4 q e (-0.002q) +0.8 q -1000
= 2.6 q -1000 +4qe (-0.002q)
or doit trouver
q-1000 + 4q e(-0.002q)
j'en déduis que j'ai dû me planter et
que B(q) =1.8 q-(4qe(-0.002q)+0.8q +1000)
= 1.8 q-0.8 q - 1000 + 4qe(-0.0o2q)
-
c'ets donc ma fonction de cout total tirée de la comparaison entre cout marginale et g' qui ne va pas, cel a vient du 0.8
2/ h(q)= 1.8 - Cm (q)
a/ etude de variation
suit sens de variation inverse de cm q
- infini 1000 + infini
Cm' - 0 +
h'q + 0 -
hq croissant B (1000) decroissant
à calculer
b)
la fonction h étant strictement monotone en l'occurrence croissant sur 0,1000 elle n'adment qu'une solution pour
h(q)=0
c) Il suffit de calculer
h(0) et h(1000) h(6000)
si h(0) et h(1000) h (6000) sont positifs la fonction est positive h(q) >0
si par partie elle est <0 la fonction est <0 par partie
3) h=1.8 - Cm
Si on calcule la primtivé de h
H= 1.8q - CT
H= B = 1.8 q -CT
Si la fonction h est négative par endroitn les nébéfices sont décroissants,
Si la fonction h=0, les bénéfices stagnent
Si h >0, les bénéfices sont croissants
La nuit m'a porté conseil.
Voici quelques correctiosns aux info que j'ai apportées
PARTIE A
2b) Cm= g'(q) + 0.8 (et non -0.8)
Le cout marginal est la dérivée du cout total
le cout total est la primitive du cout marginal
on sait que g est la primitive de g'
CT= g(q) + 0.8 q + constante
la constante ets représentée par le cout fixe =1000
CT= g(q) + 0.8 q + 1000
CT= 4qe(-0.002q) + 0.8 q + 1000
partie B
1
B(q) = 1.8 q -(4qe(-0.002q) + 0.8 q + 1000)
= 1. 8 q + 4 q e (-0.002q) - 0.8 q -1000
= 1 q -1000 +4qe (-0.002q)
CQFD
Les notions économiques qui sont abordées
Cm= coût marginal= dérivée de la fonction de coput total.
va montrer si la fonction de coput est croissante ou décroissante
En terme economiques, le coût marginal montre de combien d'unités, la fonction coutt va augmeneter ou diminuer si on augmente d'une unité la production.
dès que l'on recontre le terme marginal, c'est cette notion qu'il faut retenir. De combien d'unités la fonction va évoluer si on augmente une unités de factuers explicatif.
La fonction de cout total est la primtive de la fonction de cout marginal
chiffre d'affaire= recette= prix* quantités
recette marginale= dérivée de la recette
bénéfice= recette- cout
Pour q'une entreprise soit rentable il faut q'elle fasse du bénéfice et à certaines quantités d eproduction son bénéfice sera maximal ou minimal. Je pense que la dernière question (quantité=280)a un rapport avec cette notion.
Mercie de me tenir au courant
merci beaucoup noella ! le 280 je crois que c'est le point sur l'axe des abscisses ou le bénéfice est minimal . Par contre je crois que la fonction Ct est croissante sur [0;6000] .
Le signe du cout marginal (dérivée de la fonction de cout total) va nous donner le sens des variations de la fonction CT
Cm = 4 e (-0.002q) (-0.004 +0.000004q)
4 e (-0.002q) positif quelque soit le x
-0.004 + 0.000004 q >0
q> 0.004
0.000004
q> 1000
1000
tableau
4e(-0.002q) + +
-0.004 q + 0.000004 - 0 +
Cm - 0 +
CT décrois croiss
Ben non, je trouve qu'elle croit seulement à partir de 1000.
quelqu'un peu-t-il apporter un conseil avisé?
j'ai remplacé dans la fonction avec les valeurs 0 , 1000 et 6000 et la valeur en 6000 est supérieure à celle en 1000 elle même supérieure à celle en 0 . Mais j'ai peut être mal tapé
Désolée, je ne pux pas vérifier. Problème avec ma calculatrice.
Quelqu'un peut-il nous éclairer?
CT= 4qe^-0.002q + 0.8q + 1000
CT(0) = 1000
CT(1000) = 2341 .34
CT(6000) =5800.15
Honte à moi
1/ ECRIRE Cm'(q)= 4((1-0.002q)'e(-0.002q)+(1-0.002q)e(-0.002q)' et non Cm
étude de signe de Cm
ce que j'avasi écris était faux
Il faut calculer la limite ou valeur de Cm(0) cm(1000) et Cm (6000). Si ces valeurs sont positives, Cm >0
Si elles sont négatives Cm>0
3/ a
C'est l'étude de Cm(q)= 0.8 + 4(1-0.002q)e^-0.002q
et non C'm qui va nous donner la variation du cout total
Si Cm<0 CT decroissance
Si Cm>0 CT croissant
reste à calculer les valeurs de Cm(0), Cm (1000), Cm (6000)
merci de me tenir au courant
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