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Niveau première
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Dm de maths

Posté par
Blackdark
24-02-20 à 15:30

Bonjour,

Excusez moi de vous déranger mais j'ai un dm auquel je n'arrive pas du tout à trouver les réponses et j'espère que vous pourrez m'aider à les trouver.

Exercice 1 :
On considère la fonction f définie sur R* par f(x) = (x^3-5x^2+4)/x^2 (cest une fraction).
Soit C sa courbe representative dans un repère orthonormal du plan d'unité 1 cm.
1) Écrire f(x) sous la forme ax+b+c/x^2, où a, b et c sont des réels que l'on déterminera.
2)a) En utilisant cette écriture de f(x), calculer f'(x),  où f' est la fonction dérivée de f.
b) Montrer que f'(x) a le même signe que x (x^3 - 8), pour tout x non nul.
c) Résoudre x^3 - 8 >/= 0.
d)Étudier les variations de f et justifier que -2 est un minimum local.
3) Déterminer les valeurs exactes des abscisses des points d'intersection de la courbe C avec l'axe des abscisses.
4) Dresser un tableau des variations de f.

J'espère que vous pourrez m'aider.
Fabio.

Posté par
Yzz
re : Dm de maths 24-02-20 à 15:33

Salut,

1 : "découpe" ta fonction en somme :

f(x) = (x3-5x²+4)/x² = x3/x² - 5x²/x² + 4/x² = ...

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 24-02-20 à 15:52

Salut,

J'ai essayé de faire ce que tu as dis :
J'ai donc fait (x^3-5x^2+4)/x^2
                 = x^3/x^2 -5x^2/x^2 +4/x^2
                 = x - 5 + 4/x^2
Le résultat est-il bon ?

Posté par
Pirho
re : Dm de maths 24-02-20 à 16:02

Bonjour,

oui

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 24-02-20 à 16:04

Je pensais que ça aurait été plus dur 😅
Pouvez-vous maintenant m'aider pour la suite svp ?

Posté par
Pirho
re : Dm de maths 24-02-20 à 16:05

la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées de chaque terme de la somme

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 24-02-20 à 16:09

Ah oui merci, mais vous pouvez m aider à la dérivér parce que je ne sais pas dérivé sur x^2.
Cependant le début de f'(x) est donc 1 + la dérivée 4/x^2.

Posté par
Pirho
re : Dm de maths 24-02-20 à 16:23

\left(\dfrac{C}{u}\right)' avec C= constante

ou plus "luxueux"  \left(\dfrac{u}{v}\right)'avec u=1,v=x^2

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 24-02-20 à 16:36

Je ne comprends pas pourquoi tu met u=1 car il faut dériver 4/x^2  mais si je fais ce que tu as dis, cela fait :
(u'v-uv')/v^2
= (0×x^2-4×2x)/(x^2)^2
= -8x/(x^2)^2
= -8x/x^4
Donc f'(x) =  1 - 8x/x^4 ?

Posté par
Pirho
re : Dm de maths 24-02-20 à 16:39

ou si tu préfères

Pirho @ 24-02-2020 à 16:23


ou plus "luxueux"  \left(\dfrac{u}{v}\right)'avec u=\textcolor{red}{4},v=x^2

Posté par
Pirho
re : Dm de maths 24-02-20 à 16:41

Citation :
Je ne comprends pas pourquoi tu met u=1 car il faut dériver 4/x^2


post croisés

mais tu peux encore simplifier

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 24-02-20 à 16:41

Mon résultat est-il bon du coup ?
Si oui, pouvons nous passer à la suite ?

Posté par
Pirho
re : Dm de maths 24-02-20 à 16:44

oui après simplification

Posté par
Pirho
re : Dm de maths 24-02-20 à 16:53

désolé mais problème urgent; je dois quitter

quelqu'un prendra sans doute la relève

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 24-02-20 à 16:57

Tktt pas grave, tu m'as beaucoup aidé merci, juste je ne comprends comment je peux simplifier mon resultat donc si quelqu'un pourrait m'aider ce serait gentil.

Posté par
Yzz
re : Dm de maths 24-02-20 à 18:22

On est d'accord avec  ( 4/x²)' = -8x/x4 mais on peut simplifier par x : donc = -8/x3

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 24-02-20 à 18:26

Ah oui d'accord bien vu mercii, j'ai compris comment faire, vous m'aidez beaucoup.
On peut continuer avec la question suivante svp ?

Posté par
Yzz
re : Dm de maths 24-02-20 à 18:33

Faudrait déjà finir celle-ci !

Citation :
2)a) En utilisant cette écriture de f(x), calculer f'(x),  où f' est la fonction dérivée de f.
On a : f(x) =  = x - 5 + 4/x² , donc f'(x) = 1-8/x3.

Ensuite :
Citation :
b) Montrer que f'(x) a le même signe que x (x^3 - 8), pour tout x non nul.
Commence par mettre au même dénominateur.

Ou plutôt : il aurait mieux fallu ne pas simplifier : gardons ( 4/x²)' = -8x/x4 : on a donc f'(x) = 1-8x/x4.

Maintenant : mets tout au même dénominateur.

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 24-02-20 à 18:46

Oui quand j'ai dis questions suivante je faisais référence au b) 😅.

Donc pour l'instant j'ai fait :
x(x^3-8) = x^4-8x et f' = 1 - 8x/x^4
Donc : x^4-8x = x^4(x^4-8x) / x^4
= x^8 - 8x^5 / x^4
Je ne suis pas très convaincu par mon résultat, pourtant je suis sur que ce n'est pas si compliqué.

Posté par
Yzz
re : Dm de maths 24-02-20 à 19:02

Effectivement, c'est pas ça, et c'est bien plus simple  

Je disais :

Citation :
on a donc f'(x) = 1-8x/x4.
Maintenant : mets tout au même dénominateur.
C'est à dire :
f'(x) = 1-8x/x4 = x4/x4 - 8x/x4 = (x4-8x)/x4.

OK ?

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 24-02-20 à 19:16

Ah oui d'accord, que je suis bête, 1 = x^4/x^4 C logique 😅
Cependant je ne comprends pas pourquoi tu as fait ça car cetait deja sur x^4.
Mais sinon, avec ce résultat, je peux dire que f'(x) a le même signe que x(x^3-8)  car ils sont tous les deux positifs ?
Je ne comprends pas très bien j'ai l'impression ..
Merci de prendre le temps de m'expliquer, c sympa.

Posté par
Yzz
re : Dm de maths 24-02-20 à 19:36

On avait : f'(x) = 1 - 8x/x4.
Etudier le signe de ça, c'est pas simple.

Solution : on met au même dénominateur, histoire d'avoir une seule fraction :
ça donne : f'(x) = 1-8x/x4 = x4/x4 - 8x/x4 = (x4-8x)/x4.

Maintenant, comme le dénominateur (x4) est positif, on peut dire que le signe de f'(x) est le même que celui de son numérateur : x4-8x.

Et, comme x4-8x = x(x3-8) ,
alors effectivement, f'(x) a le même signe que x(x3-8) .

OK ?

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 24-02-20 à 19:41

Ah oui d'accord c'est beaucoup plus clair merci de bien m'expliquer, en fait j'avais oublié que le 1 n'était pas dans la fraction c'est pour ça que je ne comprenais pas.
On peut donc passer à la suite maintenant.
Vraiment merci beaucoup pour toute l'aide.

Posté par
Yzz
re : Dm de maths 24-02-20 à 20:41

c) x3-8 0 équivaut à x3 8  soit  : x3 23  donc à : x 2

Je ne passe que de temps en temps, donc désolé pour l'attente !!!

Posté par
Yzz
re : Dm de maths 24-02-20 à 20:42

Pour le d) , tu dois faire un tableau de signes pour le produit x(x3-8)  (comme en seconde...)

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 24-02-20 à 21:04

Oui j'avais trouvé la même chose mais cependant j'ai oublié d'écrire quil y avait une indication :
a^3-b^3 = (a-b)(a^2+2ab+b^2)
Et donc après avoir remplacé chaque terme j'ai trouvé : (x-2)(x^2-4x+4)
Et après j'ai fait le discriminant je trouve =0 donc une solution double et celle-ci vaut 1. Et dans x-2 aussi x vaut 2 pour que ça soit nul mais je ne sais pas comment l'interpréter, comment le relier plutôt, je ne sais pas si vous comprenez.
Et pr le d) je ne comprends pas pourquoi il faut prendre ce produit car ce n'est pas f.

Et ce n'est pas grave si vous répondez un peu plus tard, me répondre est déjà vraiment gentil.

Posté par
Yzz
re : Dm de maths 24-02-20 à 21:08

Il se trouve que (x-2)(x²-4x+4) = (x-2)(x-2)² , et donc f'(x) a le même signe que x(x-2)(x-2)².  OK ?

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 24-02-20 à 21:13

Oui mais la question ici cest résoudre et non pas dire que cest du même signe à moins que je dise n'importe quoi.

Posté par
Yzz
re : Dm de maths 24-02-20 à 21:18

Citation :
d)Étudier les variations de f et justifier que -2 est un minimum local.
Les variations de f sont données par le signe de sa dérivée (f' positive --> f croissante ; f' négative --> f décroissante).

Donc, pour répondre à la question d , il nous faut étudier le signe de sa dérivée f'.

On a vu (question b) : f'(x) a le même signe que x (x3 - 8)

Nous venons de voir : x(x3-8) = (x-2)(x-2)² , et donc f'(x) a le même signe que x(x-2)(x-2)².

Or (x-2)² est positif, donc le signe de x(x-2)(x-2)² est le même que celui de x(x-2).  OK ?

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 24-02-20 à 21:25

Je ne comprends pas pourquoi tu as mis un x devant (x-2)(x-2)^2 ) mais sinon je comprends à priori ce que tu as mis mais je ne vois pas comment déterminer les variations de f, normalement je pense ça devrait être croissante décroissante croissante étant donnée que f est croissante mais je pense qu'il faut justifier mais je ne sais pas comment.

Posté par
Yzz
re : Dm de maths 24-02-20 à 21:27

Erreur de ma part, je reprends le message précédent :

On a vu (question b) : f'(x) a le même signe que x (x3 - 8)
Nous venons de voir : x3-8 = (x-2)(x-2)² , donc x(x3-8) = x(x-2)(x-2)²
et donc f'(x) a le même signe que x(x-2)(x-2)².

Or (x-2)² est positif, donc le signe de x(x-2)(x-2)² est le même que celui de x(x-2).  OK ?

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 24-02-20 à 21:47

Ah ok je pensais vraiment être perdu mais du coup je tiens le coup 😅
J'ai tout compris mise à part que tu as parlé de x(x-2) car je ne comprends pas comment tu as trouvé son signe sinon j'ai tout compris je crois.
Donc si f' est positive alors f est croissante donc ses variations sont : croissante décroissante croissante c'est ça ?
Cependant pour trouver que -2 est un minimum local je ne suis pas sur mais je pense qu'il faut remplacer x par un certain nombre pour que l'on trouve -2 mais je ne sais pas par lequel.
Par contre au fait la question c) du coup on y a répondu ?
Je suis désolé de t'embêter avec toutes mes questions mais cest juste que notre prof nous a donné des trucs qu'on a jamais vu même si je me rends compte que ce n'est pas sorcier en fin de compte mais je ne peux pas deviner les réponses donc, merci beaucoup vraiment pour toute l'aide.

Posté par
Yzz
re : Dm de maths 25-02-20 à 04:32

Citation :
tu as parlé de x(x-2) car je ne comprends pas comment tu as trouvé son signe
Ca on l'a pas encore fait  

On en est là : le signe de f'(x) est le même que celui de x(x-2).

Maintenant :
x(x-2) = x²-2x est un polynôme du second degré ; il s'annule en x et en 2 , et il est "du signe de a à l'extérieur des racines, et du signe contraire de a entre les racines" :

donc (comme a=1) : f'(x) est positif avant 0 et après 2 , et négatif entre 0 et 2.

donc : f est croissante avant 0 et après 2 , et décroissante entre 0 et 2.

OK ?

Posté par
Yzz
re : Dm de maths 25-02-20 à 04:33

Rectif :

Maintenant :
x(x-2) = x²-2x est un polynôme du second degré ; il s'annule en 0 et en 2 (...)

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 25-02-20 à 10:08

D'accord jai tout compris mais on est obligé de faire avec x(x-2), parce que ça fonctionne aussi si on prend (x-2)(x-2)^2, enfin je crois.

Je me répète mais du coup est ce qu'on a répondu à la question c) ?

Posté par
Pirho
re : Dm de maths 25-02-20 à 11:21

salut Yzz

Yzz @ 24-02-2020 à 21:27

Erreur de ma part, je reprends le message précédent :

Nous venons de voir : x3-8 = (x-2)(x-2)² plutôt (x-2)(x²+2x+4) non?

Posté par
Yzz
re : Dm de maths 25-02-20 à 11:28

Merci Pirho , heureusement que tu es là ...

effectivement, on a  x3-8 = (x-2)(x²+2x+4) .
ca ne change pas la suite, car x²+2x+4 > 0 , donc x3-8 est du signe de (x-2).

Désolé pour l'erreur  

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 25-02-20 à 11:28

Il y a eu une erreur ?  Parce que j'avais tout compris jusque là mais bon du coup tant pis. Vous pouvez expliquer l'erreur ?

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 25-02-20 à 11:30

Ah oui d'accord merci tout les deux

Posté par
Pirho
re : Dm de maths 25-02-20 à 11:31

Yzz

voilà ce qui arrive quand on fait des maths au lieu de dormir

Posté par
Yzz
re : Dm de maths 25-02-20 à 11:31

Parfaitement exact  !!!  

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 25-02-20 à 11:35

Bh contre du coup tout ce que tu avais mis avant avec x(x-2) c'est faux ? Je suis un peu perdu du coup pour interpréter le résultat.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Dm de maths 25-02-20 à 11:40

bonjour,

personne n'a remarqué que depuis pas mal de messages on est parti d'un truc faux au départ

j'ai oublié d'écrire quil y avait une indication :
a^3-b^3 = (a-b)(a^2+2ab+b^2) c'est faux !!!

a^3 - b^3 = (a-b) (a^2 + ab + b^2)
donc depuis il y a eu pas mal de bêtises d'écrites des (x-2)² etc

x(x^3 - 8) = x(x^3 - 2^3) = x(x-2)( x^2 + 2x + 4) comme vient de le remarquer Pirho)

le signe de x^2 + 2x + 4 s'étudie en tant que signe du trinome (au pire !! car x^2 +2x+4 = (x+1)² + 3 et son signe est instantané)

et on fait comme d'hab un tableau de signe avec une ligne pour chacun des facteurs :

x : celle là elle y est déja en 1ère ligne ! on peut y ajouter le signe de x dans cette première ligne si on veut ! (si on a peur de se perdre)
x-2
et x^2 + 2x + 4 (bof, voir ci dessus)
et finalement le signe du produit (vite vu donc)

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 25-02-20 à 12:13

Oh je suis désolé, j'ai honte de l'erreur que j'ai commise, vraiment désolé...
Cependant maintenant je ne comprends vraiment plus rien

Posté par
Pirho
re : Dm de maths 25-02-20 à 12:17

Blackdark @ 25-02-2020 à 12:13


Cependant maintenant je ne comprends vraiment plus rien


suis le conseil de mathafou pour résoudre x^3-8\ge 0

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 25-02-20 à 12:36

J'ai compris ce qu'il voulait faire avec le tableau signe, le problème est que je n'arrive pas à le remplir entièrement.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Dm de maths 25-02-20 à 12:59

je t'ai donné un résumé de tout le calcul correct pour avoir ce qui est demandé :
le signe de x(x3-8)
qui est égal à x(x-2)(x²+2x+4)

si tu fais le tableau : montre ce que tu as commencé

à défaut de savoir écrire un vrai tableau ici, ligne par ligne avec des espaces ça marche aussi bien

ou en image c'est toléré pour des tableaux seulement, (pas pour des calculs ni des textes)

ou méthode riche : utiliser la création de tableaux par l'éditeur LaTeX, mais ça nécessite une compréhension des fonctions LaTeX utilisées

ceci dit un tableau pour en fait juste au final le signe de x(x-2), bof !
(relire ce que j'ai dit et que Yzz à dit sur le signe du facteur x² +2x+4)

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 25-02-20 à 13:17

Pour pouvoir résoudre on n'a pas besoin de tableau ?
Pour le moment, je sais juste que x^2+2x+4 est du signe positif mais en fait je ne comprends pas pourquoi il faut le signe de x(x-2) Bh plutôt pourquoi ce n'est pas le signe de (x-2) que l'on cherche.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Dm de maths 25-02-20 à 13:31

à force d'étirer des calculs de deux lignes sur des dizaines de messages on perd le but de vue

b) Montrer que f'(x) a le même signe que x (x^3 - 8), pour tout x non nul.
fait

c) Résoudre x^3 - 8 ≥ 0.

on en est là
l'indice fournit permet d'écrire x^3 - 8 = (x-2)(x^2+2x+4)
comme x^2+2x+4 > 0 quel que soit x (le justifier)

x^3 - 8 ≥ 0 équivaut donc à x-2 ≥ 0
il n'y a pas besoin de tableau de signes pour résoudre x-2 ≥ 0 !!


d)Étudier les variations de f et justifier que -2 est un minimum local.

donc étudier le signe de x(x^3-8)

c'est là qu'interviendra éventuellement un tableau de signe, de finalement x(x-2)
mais avec juste ces deux facteurs là, un tableau de signes sera réduit à sa plus simple expression !

Posté par
Blackdark
re : Dm de maths 25-02-20 à 14:01

Effectivement tu as raison, j'avais complètement perdu le sens.
Merci d'avoir tout réexpliquer.
Donc déjà pour justifier que x^2+2x+4 est positif, c'est parce qu'il n'y a que des + et que, de plus, il y a un x^2 ? Ma justification est elle bonne ?
Ensuite donc pour la résolution, pour tout x qui appartient à [2;+ infini], x^3-8>/=0, c'est bien ça ?
Et si j'ai bien compris, pour la d) il faut chercher le signe de x(x^3-8) parce que c'est du même signe que f'(x) et vu que si f'(x) est positive alors f est croissante et inversement c'est ça ?
Jusque là, j'ai tout compris, mais à la fin tu as dit que dans le tableau de signe il fallait mettre x(x-2), et je pense avoir compris pourquoi avoir pris x(x-2) mais faut il que je développe et je mette x^2-2x ou que je laisse comme ça ?

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