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DM de Maths logarithme neperien

Posté par
chana93
02-04-16 à 17:16

bonjours, j'ai un DM en mathématiques, la partie 1 j'ai réussi a le faire mais la partie 2 j'ai un peu de mal , pourriez vous m'aider SVP

Devoir Maison:

on appelle série harmonique la suite (Un) définie pour n entier non nul par: Un=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}}

Partie 1:
L'objectif de cette partie est de prouver que la série harmonique diverge

1) Montrer que pour tout x\geq 1,
\frac{1}{x+1}\leq ln(x+1)-ln(x)\leq \frac{1}{x}

2) soit n\epsilon N*. Simplifier \sum_{k=1}^{n}{(ln(k+1)-ln(k))}

3)Montrer que pour tout  n\epsilon N*,
Un+1 - 1 \leq ln(n+1)\leq Un

4) En déduire que (Un) tend vers +infini

Partie 2 :
Constante d'Euler. Dans cette partie, on se propose de démontrer que la suite (Cn) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 par:
\sum_{n-1}^{k=1}{\frac{1}{k}-ln(n)} est convergente

1) On note f la fonction définie sur ]0;+infini[ par
f(x)= -ln(\frac{x+1}{x})+\frac{1}{x}

a) Montrer que pour tout n \epsilon N*, 0\leq f(n)\leq \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

b) Montrer que pour tout n\geq 2,
Cn=\sum_{k=1}^{n-1}{f(k)}

c) En déduire que la suite (Cn) est croissante et que pour tout n\geq 2  on a : f(1)\leq C_{n}\leq 1-\frac{1}{n}

d) Conclure que la suite (Cn) converge vers un réel que l'on note \gamma

e) Donner un encadrement de \gamma d'amplitude 10-1

la partie 1 j'ai réussi et aussi la partie 2 - 1)a
mais la suite de DM j'arrive pas a le faire











Posté par
vham
re : DM de Maths logarithme neperien 02-04-16 à 19:22

Bonsoir,

Pour la partie2 1b) Regroupe les -Ln dans un -Ln des produits..

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : DM de Maths logarithme neperien 02-04-16 à 19:58

f(k) = -ln((k+1)/k) + 1/k

f(1) = -ln(2) + 1
f(2) = -ln(3/2) + 1/2 = ln(2) - ln(3) + 1/2
f(3) = -ln(4/3) + 1/3 = ln(3) - ln(4) + 1/3
f(4) = -ln(5/4) + 1/4 = ln(4) - ln(5) + 1/4
...
f(n-1) = -ln(k/(k-1)) + 1/(k-1) = ln(n-1) - ln(n) + 1/(n-1)

On ajoute les égalités ci dessus membre à membre :

f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n-1) = -ln(2) + 1 + ln(2) - ln(3) + 1/2 + ln(3) - ln(4) + 1/3 + ln(4) - ln(5) + 1/4 + ... + ln(n-1) - ln(n) + 1/(n-1)

On simplifie le second membre et on obtient :

f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n-1) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/(n-1) - ln(n)

f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n-1) = Cn

Et donc C_n = \Sigma_{k=1}^{n-1} f(k)

...

Posté par
vham
re : DM de Maths logarithme neperien 03-04-16 à 08:51

Bonjour,

Salut J-P : développer la partie Ln en + et - est plus "naturel" que simplifier les produits sous Ln....

Sans doute chana93 peut maintenant terminer seul.

Posté par
chana93
re : DM de Maths logarithme neperien 03-04-16 à 10:23

Bonjour, Merci j'ai compris et réussi  à faire la question b de la partie 2 mais je bloque maintenant sur la question c, si vous pouvez m'aider svp.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : DM de Maths logarithme neperien 03-04-16 à 10:44

Salut vham.

chana93,

On a montré que  C_n = \Sigma_{k=1}^{n-1} f(k)

et donc  C_{n+1} = \Sigma_{k=1}^{n} f(k)

C_{n+1} - C_n = f(n)

Quel est le signe de f(n) ?
Et donc ...

Posté par
chana93
re : DM de Maths logarithme neperien 03-04-16 à 11:01

Pourquoi Cn+1-Cn =f (n)?

Posté par
chana93
re : DM de Maths logarithme neperien 03-04-16 à 11:16

Non c'est bon j'ai réussi merci.

Posté par
chana93
re : DM de Maths logarithme neperien 03-04-16 à 11:42

Comment montrer que f (1)<Cn <1-1÷n

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : DM de Maths logarithme neperien 04-04-16 à 10:45

Tu cales à chaque étape de la méthode GPS  enseignée actuellement.  

Cn = f(1) + f(2) + ... + f(n-1)

f(1) = C(n) - f(2) - ... - f(n-1)

f(1) = C(n) - (f(2) + ... + f(n-1))

Or on sait que tous les f(k) >= 0 (partie 2 - 1a)

--> (f(2) + ... + f(n-1)) >= 0 et donc f(1) <= Cn
-----

Cn = f(1) + f(2) + ... + f(n-1)

Cn <= f(1) + f(n-1) puisque tous les f(k) >= 0

cn <= 1 - 1/2 + 1/(n-1) - 1/n

cn <= 1 - 1/n - 1/2 + 1/(n-1)

cn <= 1 - 1/n + (1/(n-1) - 1/2)

Or (1/(n-1) - 1/2) <= 0 pour n > 2

--> cn <= 1 - 1/n pour n > 2 (1)

On a aussi C2 = f(1) = 1 - ln(2) = 0,306...

et 1 - 1/n = 1/2 pour n = 2

--> Cn < 1 - 1/n pour n = 2 (2)

(1) et (2) --> Cn <= 1 - 1/n pour n >= 2
------
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