bonjours, j'ai un DM en mathématiques, la partie 1 j'ai réussi a le faire mais la partie 2 j'ai un peu de mal , pourriez vous m'aider SVP
Devoir Maison:
on appelle série harmonique la suite (Un) définie pour n entier non nul par: Un=
Partie 1:
L'objectif de cette partie est de prouver que la série harmonique diverge
1) Montrer que pour tout ,
2) soit n N*. Simplifier
3)Montrer que pour tout n N*,
Un+1 - 1
4) En déduire que (Un) tend vers +infini
Partie 2 :
Constante d'Euler. Dans cette partie, on se propose de démontrer que la suite (Cn) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 par:
est convergente
1) On note f la fonction définie sur ]0;+infini[ par
f(x)=
a) Montrer que pour tout n N*,
b) Montrer que pour tout ,
Cn=
c) En déduire que la suite (Cn) est croissante et que pour tout on a :
d) Conclure que la suite (Cn) converge vers un réel que l'on note
e) Donner un encadrement de d'amplitude 10-1
la partie 1 j'ai réussi et aussi la partie 2 - 1)a
mais la suite de DM j'arrive pas a le faire
f(k) = -ln((k+1)/k) + 1/k
f(1) = -ln(2) + 1
f(2) = -ln(3/2) + 1/2 = ln(2) - ln(3) + 1/2
f(3) = -ln(4/3) + 1/3 = ln(3) - ln(4) + 1/3
f(4) = -ln(5/4) + 1/4 = ln(4) - ln(5) + 1/4
...
f(n-1) = -ln(k/(k-1)) + 1/(k-1) = ln(n-1) - ln(n) + 1/(n-1)
On ajoute les égalités ci dessus membre à membre :
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n-1) = -ln(2) + 1 + ln(2) - ln(3) + 1/2 + ln(3) - ln(4) + 1/3 + ln(4) - ln(5) + 1/4 + ... + ln(n-1) - ln(n) + 1/(n-1)
On simplifie le second membre et on obtient :
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n-1) = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/(n-1) - ln(n)
f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n-1) = Cn
Et donc
...
Bonjour,
Salut J-P : développer la partie Ln en + et - est plus "naturel" que simplifier les produits sous Ln....
Sans doute chana93 peut maintenant terminer seul.
Bonjour, Merci j'ai compris et réussi à faire la question b de la partie 2 mais je bloque maintenant sur la question c, si vous pouvez m'aider svp.
Tu cales à chaque étape de la méthode GPS enseignée actuellement.
Cn = f(1) + f(2) + ... + f(n-1)
f(1) = C(n) - f(2) - ... - f(n-1)
f(1) = C(n) - (f(2) + ... + f(n-1))
Or on sait que tous les f(k) >= 0 (partie 2 - 1a)
--> (f(2) + ... + f(n-1)) >= 0 et donc f(1) <= Cn
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Cn = f(1) + f(2) + ... + f(n-1)
Cn <= f(1) + f(n-1) puisque tous les f(k) >= 0
cn <= 1 - 1/2 + 1/(n-1) - 1/n
cn <= 1 - 1/n - 1/2 + 1/(n-1)
cn <= 1 - 1/n + (1/(n-1) - 1/2)
Or (1/(n-1) - 1/2) <= 0 pour n > 2
--> cn <= 1 - 1/n pour n > 2 (1)
On a aussi C2 = f(1) = 1 - ln(2) = 0,306...
et 1 - 1/n = 1/2 pour n = 2
--> Cn < 1 - 1/n pour n = 2 (2)
(1) et (2) --> Cn <= 1 - 1/n pour n >= 2
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Sauf distraction.
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