Bonjour,

Concernant f3, je ne vois pas non plus de racine évidente.

Dans ce cas, il faut passer à la dérivée seconde f''3

f''3(x) = 12x^2 + 6x +2

Discrimant < 0 => f"3(x) > 0 sur R
                         => f'3(x) strictement croissante sur
R de -oo à +oo
                       => Il existe c unique / f'3(c) = 0
                        => f3(x) admet un minimum unique en c ( f3

                             décroissante jusqu'à c puis croissante
après c).

Pour la valeur de c:
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f'3(x)=4x^3+3x²+2x+1

Or  f'(-1) = -2  et f'(0)= 1 => c appartient à ]-1; 0[

Bon courage

Re-bonjour,

Je n'avais pas noté que l'étude de fn était sur [0, +oo[

En continuant mon raisonnement. du "mail" précédent, on en déduit
que sur [0, +oo[, f3'(x) > 0 => f3(x) est strictement croissante
sur R+

A+

ex1
a)
Pour f3

f '3(x) = 4x³+3x²+2x+1
f ''3(x) = 12x²+6x + 2
le déterminant de  12x²+6x + 2 est négatif et donc 12x²+6x + 2 a le
signe de son coeff en x² quelle que soit la valeur réelle de x.
-> f ''3(x) > 0 -> f '3(x) croissante.
f3 '(0) = 1
Des 2 lignes précédentes, on conclut que f3'(x) > 0 pour x dans
[0 ; oo[ et que donc f(3) est croissante.
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b)
f 'n = (n+1).x^n + n.x^(n-1) + 2x + 1

pour x >= 0 et n >=2 , on a (n+1).x^n >=0,  n.x^(n-1)>= 0 ,  2x >=0 et
1 > 0
->
f 'n > 0 pour x dans ]0 ; oo] et donc les fn sont strictement
croissantes.
---
f(n+1) - fn = x^(n+2)+x^(n+1)+x²+x-1 - (x^(n+1)+x^n+x²+x-1)
f(n+1) - fn = x^(n+2) - x^n
f(n+1) - fn = x^n(x² - 1)

f(n+1) - f(n) = 0 si x^n(x² - 1) -> pour x = 0 et x = 1 seulement.
en x = 0 -> fn = -1 et en x = 1, fn = 1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3.
Dont f(n+1) et fn ont les points (0 ;1) et (1 ; 3) comme seuls points
communs.

Donc f2 et f3 ont les points (0 ;1) et (1 ; 3) comme seuls points communs.
et  f3 et f4 ont les points (0 ;1) et (1 ; 3) comme seuls points communs.
et  f4 et f5 ont les points (0 ;1) et (1 ; 3) comme seuls points communs.
Et ainsi de proche en proche, tous les f(n) ont les seuls point les
points (0 ;1) et (1 ; 3) en commun.
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c)
fn(0) = -1
lim(x->oo) fn = oo
Et on a montré fn strictement croissante.

Donc fn strictement croissante, passe d'une valeur négative (en x
= 0) à une valeur positive (quand x -> oo), et donc une et une seule
valeur de x annule fn sur [0 ; oo[
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d)
U2 = 0,46557...
U3 = 0,51879...
U4 = 0,55175...
U10 = 0,60963...
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e)
La solution est forcément < 1, sinon fn >= 1 + 1 + 1 + 1 - 1 , fn >=
3 et donc impossible d'avoir f(n) = 0.

fn(2/3) = (2/3)^(n+1) + (2/3)^2 + (2/3)² + (2/3) - 1
fn(2/3) = (2/3)^(n+1) + (2/3)^2 + (1/9)
Et donc quel que soit n, fn >= 1/9 et donc f(n) > 0 si x >= 2/3
Il est donc impossible d'avoir fn = 0 si x >= 2/3.
Comme on sqit qu'une solution existe pour fn = 0, on a forcément en
appelant Un cette solution:
0 < Un < 2/3 et donc Un dans ]0 ; 2/3[
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f)
On a montré que:
f(n+1) - f(n) = x^n(x² - 1)
si x dans ]0 ; 2/3[, on a x^n > 0 et (x²-1) < 0 ->
f(n+1) - fn < 0 avec x dans ]0 ; 2/3[
f(n+1) < fn  avec x dans ]0 ; 2/3[
Et comme tous les fn sont croissante ->
on a la courbe représentant f(n+1) coupe l'axe des abscisses pour
une abscisse supérieure à celle où la courbe représentant fn coupe
l'axe des abscisse.
Et donc U(n+1) > U(n)
ou ce qui revient au même: U(n) < U(n+1)
Un strictement plus petit que U(n+1)
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g)
Du point f ci-dessus, on conclut que Un est croissante.
Comme de plus Un est bornée puisque on a montré que  Un dans ]0 ; 2/3[
-> Un est convergente.
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i et j)
Comme Un dans ]0 ; 2/3[, on a Un < 1 et donc x^(n+1)+x^n pour x = Un tends
vers 0 si n -> oo

Donc fn tend vers x²+x-1 pour x = Un si n -> oo

Donc Un converge vers la valeur alpha de x qui annule x² + x - 1.
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k) alpha est la valeur de x pour laquelle x² + x - 1 = 0

x = [-1 +/- V(1+4)]/2
mais x > 0 ->
alpha = (-1 + V5)/2
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Je n'ai pas le courage d'entammer l'exercice 2.
Plus tard peut-être.

(Attention, comme d'habitude, je n'ai rien relu)

A+

ex 2
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1)
x² + y² = z²

les triplets (0 , 0 , 0) ; (0 , 1 , 1) et (1 , 0 , 1) conviennent

On a aussi: 3² + 4² = 5²  dont le triplet (3 , 4 , 5) convient
Et aussi bien entendu les triplets (3k , 4k , 5k) avec k entier conviennent.
(Ici, on ne demande pas que les nombres soient consécutifs).
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2)

a)
y = x + 1
z = x + 2
avec x dans N
---
b)
y³ = x³ + 3x² + 3x + 1
z³ = x³ + 6x² + 12x + 8

x³ + y³ = z³
x³ + x³ + 3x² + 3x + 1 = x³ + 6x² + 12x + 8
x³ - 3x² -9x -7 = 0
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c)
f(u)=u³-3u²-9u-7
f '(u) = 3u² - 6u - 9
f '(u) = 3(u+1)(u-3)

f '(u) < 0 pour u dans [0 ; 3[ -> f(u) décroissante.
f '(u) = 0 pout u = 3
f '(u) > 0 pour u dans ]3 ; oo[ -> f(u) croissante.

Il y a un minimum de f(u) pour u = 3, ce min vaut f(3) = -19
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d)
f(0) = -7
f(3) = -19
et f(u) décroissant dans [0 ; 3] -> aucune valeur de u n'annule
f(u) pour u dans [0 ; 3].  (1)

lim(x-> oo) f(u) = oo
et comme f(u) est croissante sur ]0 ; oo[, une et une seule valeur de
u annule f(u) dans ]3 ; oo[  (2)

(1) et (2) ->
Une et une seule valeur de u annule f(u) dans [0 ; oo[

f(4) = -12 < 0
f(5) = 13  > 0

donc la valeur alpha de u qui annule f(u) est telle que : 4 < alpha <
5
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e)
Comme  4 < alpha < 5 , il est impossible que alpha soit entier et donc
il n'existe pas 3 entiers consécutifs x, y = x + 1 , z = x +
2 tel que x³ + y³ = z³.
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3)
Tu essaies toi-meme en regardant comment le début (pour x³ + y³ = z³)
a été fait.
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Sauf distraction