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dm de maths suites et récurrences
Bonsoir,
Ayant quelques difficultés afin de faire ces exercices ,je demande votre aide s'il vous plait :
[/i][i]Dans l'énoncé suivant xn est noté x indice n de meme pour yn.
Soit xn+1 = (7/3)xn + (1/3)yn + 1 (xn+1 se lit x indice n+1)
yn+1 = (20/3)xn + (8/3)yn + 5
1. Montrer par récurrence que tous les xn sont des entiers naturels.
En déduire que tous les yn sont aussi des entiers naturels.
2. Montrer que :
a) xn est divisible par 3 ssi yn est divisible par 3.
b) si xn et yn ne sont pas divisibles par 3, alors ils sont premiers entre eux.
Je vous remercie d'avance.
il me semble qu'il manque des données (x0,y0)?
si l'on prend (x0=1,y0=1)==>x1=8/3+1 qui n'est pas un entier naturel!
Effectivemant désolé x0= 1 et y0= 8
(x0=1,y0=8)==>(x1=6,y1=33)==>(x2=26,y2=133) on peut donc remarquer que yn=5xn+3;ON le demontre par récurrence
n suppose qu'au rang n yn-5xn=3 et l'on forme yn+1-5xn+1=2Oxn/3+8yn/3+5-(35xn/3+5yn/3+5)=yn-5xn=3
donc la relation est vraie au rang n+1 si elle est vraie au rang n comme elle est vraie au rang 0 elle sest vraie pour tout n.yn=5xn+3==>xn+1=7xn/3+(5xn+3)/3+1=4xn + 2
xn+1=4xn + 2 xn entier naturel==>xn+1 entier naturel comme x0 est entier naturel tous les xn le sont. de plus yn=5xn +3 donc xn entier naturel==> yn entier naturel
question/ c'est facile yn=5xn + 3 donc si xn est divisible par 3=>,5xn +3 aussi. 5xn=yn-3 donc siyn est divisible par3 5xn aussi mais 3 est premier avec 5 donc 3 divise xn
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