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DM de Maths sur la fonction exponentielle

Posté par
elodie1999
26-11-16 à 10:14

Bonjour j'ai un DM de maths sur la fonction exponentielle  a, je l'ai fini mais je ne sais pas si c'est juste. Pouvez vous verifiez si ce que j'ai fait est juste ou pas et me signaler en cas d'erreur. Merci

Partie A : On considere la fonction g definie sur [0,+[ par :
g(x)=(e^x)-x-1

1) etudier les variations de la fonction g

g'(x)= (e^x)-1
pour tout xR , e^x0
(e^x)-10
e^x1
or sur [0,+[, pour que e^x1 il faut que x0

on fait le tableau de variation sur [0,+[, la fonction derivee de g est positive sur cet intervalle donc la fonction g est croissante sur [0,+[
a valeurs dans [0,+[

2) determiner le signe de g(x) suivant les valeurs de x

Sur [0,+[, la fonction g est continue et strictement croisante a valeurs dans [0,+[ , on peut en deduire des variatipons de la fonction g que g est positive sur [0,+[

3) en deduire que pour tout x de [0,+[ (e^x)-x0

la fonction g est positive : soit (e^x)-x-10
(e^x)-x10
donc (e^x)-x0 sur [0,+[

partie B :
On considere la fonction f definie sur [0,1] par :
f(x)= ((e^x)-1)/((e^x)-x)

on note C la courbe representative de la fonction f dans le plan muni dmun repere orthonorme (O;;) d'unite graphique 10 cm (pour chacun des axes)

1) tracer C
On admet que f est strictement croissante sur [0,1]

Jai tracer la courbe avec 10cm pour 1 dans les deux axes, la courbe est croissante.

2) Montrer que pour tout x de [0,1] f(x)[0,1].

f'(x)= 1/((e^x)-x)^2

10 et ((e^x)-x)^20 car un carre est toujours positive.

on fait le tableau de variation sur [0,1], f est croissante sur [0,1] a valeurs dans [0,1]
donc pour tout x [0,1] f(x)[0,1]

3) Soit (D) la droite d'equation y=x
a) montrer que pour tout x de [0,1]
    f(x)-x= [(1-x)g(x)]/(e^x)-x

    f(x)-x= [(e^x)-1/(e^x)-x]-x
                = [(e^x)-1-x(e^x) +x^2]/(e^x)-x
    
    [(1-x)g(x)]/(e^x)-x= [(e^x)-1-x(e^x) +x^2]/(e^x)-x (en remplacant g(x) par ses valeurs, on trouve le meme resultat)
                                            = f(x)-x

b) etudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C) sur [0,1]

etudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C) sur [0,1] veut dire qu'il faut determiner sur quel intervalle on a C au dessus de (D)
f(x)yf(x)-y0
(1-x)g(x)/(e^x)-x0  d'apres 3)a)
Sur [0,+[ (e^x)-x0 d'apres 3) partie A
g(x)0 d'adres 2) partie A
1-x0x1
car x-x est decroissante sur [0,+[

f(x)-y0 sur [0,1] donc C est au dessus de (D) sur [0,1]

partie C :
On considere la suite (Un) definie par :
u0= 1/2
Un+1=f(Un) pour tout entier naturel n.

1) construire sur l'axe des abscisses les quatres premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.

     J'ai fait sur la representation graphique de (C) demander a la question 1) partie B, la droite x=y puis j'ai placer les quatres premiers termes de la suite grace a la courbe (C) et la droite (D), on constate que la suite est croissante et converge vers 1

2) Montrer que pour tout entier naturel n,
1/2UnUn+11

Ici par contre je ne sais pas si j'ai le droit de dire comme sa, je sais pas trop comment rediger.

Puisque f est une fonction croissante, f(0)=0 et f(1)=1, par consequent la suite (Un) est croissante pour tout nN donc on a UnUn+1

Initialisation : pour n=0 u0=1/2
1/2u0 donc vrai pour n=0

heredite : Si pour un rang n fixe on a 1/2Un
Demontrons que 1/2Un+1

1/2Un d'apres hypothese se recurrence
1/2UnUn+1 car (Un) est croissante

Conclusion : U01/2 et la propriete est hereditaire donc pour tout nN on a 1/2UnUn+1

Initialisation : pour n=0 on a U0=1/2  u01
donc vrai pour n=0

heredite : Si pour un rang n fixe on a Un1
Demontrons que Un+11

                                       Un1 d'apres hypothese de recurrence
                                       UnUn+11 (Un) croissante pour tout nN

Conclusion: uo1 et la propriete est hereditaire donc pour tout nN on a UnUn+11

On trouve donc bien pour tout nN
1/2UnUn+11

3) en deduire que la suite (Un) est convergente et determiner la limite

la suite (un) est croissante et majoree en 1 or toute suite croissante et majoree est convergente donc (Un) est convergente.


(e^Un)-1/(e^Un)-Un = (1-(1/e^Un))/(1-(1/e^Un))
Lim (n tend vers +) 1-(1/e^Un)=1
Lim (n tend vers +) 1-(1/e^Un)=1

donc Lim (n tend vers +) Un =1
    

Posté par
Manny06
re : DM de Maths sur la fonction exponentielle 26-11-16 à 11:56

On admet que f est strictement croissante sur [0,1]
car l'étude du signe de f'(x) est un peu longue
ta dérivée est fausse on trouve f'(x)=[(2-x)e^x -1]/(e^x-x)²

Posté par
Manny06
re : DM de Maths sur la fonction exponentielle 26-11-16 à 12:08

on constate que la suite est croissante et converge vers 1
NON on peut penser que la suite est croissante et converge vers 1
utilise plutôt
U0€[0,1]
si Un€[0,1] Un+1=f(Un)€[0,1] d'après B)2)
donc pour tout n Un€[0,1]
Pour x€[0,1] on sait que f(x)-x>=0
on en déduit donc f(Un) -Un >=0
la suite est donc croissante.....

ensuite
Un croissante et majorée par 1 converge vers une limite L<=1
cette limite est solution de l'équation f(L)=L de plus cette solution est supérieure à 1/2
or f(x)-x=0 ssi (1-x)g(x)=0......

Posté par
fenamat84
re : DM de Maths sur la fonction exponentielle 26-11-16 à 13:03

Bonjour,

Ton exercice étant assez long, on va reprendre ceci pas à pas : (car il y a tout de même pas mal d'erreurs de rédaction...)

Partie A :

1) La dérivée de g est ok. On trouve bien g'(x)=e^x - 1.
Puis on constate directement que g' s'annule en x=0, et que si x>0, on a bien g'(x)>0.
Donc g' est positif sur [0;+inf[.
Or, tu n'as pas répondu à la question ici !! On te demande plus précisément les variations de g !! (croissant, décroissant...)

Comme g' est positif sur [0;+inf[, donc g est strictement croissante sur [0;+inf[.

2) Ok.
Ici, d'après la question 1, on a déjà vu que g est croissante sur [0;inf[. Or de plus g(0)=0.
Donc par conséquent, g est positive sur [0;+inf[.

3) RAS.

Partie B :

1) ok.
2) D'une part ta dérivée f' est fausse !! D'autre part, il était inutile de le calculer puisqu'on admet que f est strictement croissante sur [0;1] !!
Il suffisait tout simplement de calculer f(0) et f(1) puis conclure...

3a) La rédaction est très approximative...
Soit tu pars de \frac{(1-x)g(x)}{e^x-x} pour arriver à f(x)-x, soit l'inverse !!
Mais pas partir des 2 expressions à la fois pour arriver à des résultats intermédiaires (qui bien sûr doivent être égaux...)

Ici, partir de \frac{(1-x)g(x)}{e^x-x} semble plus approprié :

\frac{(1-x)g(x)}{e^x-x}
=\frac{(1-x)(e^x-x-1)}{e^x-x}
=\frac{e^x-x-1-xe^x+x²+x}{e^x-x}
=\frac{e^x-1-x(e^x-x)}{e^x-x}

=\frac{e^x-1}{e^x-x}-\frac{x(e^x-x)}{e^x-x}
=f(x)-x.
CQFD.

3b)

Citation :
Etudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C) sur [0,1] veut dire qu'il faut déterminer sur quel intervalle on a C au dessus de (D)


Non !! Il suffit juste de déterminer le signe de \frac{(1-x)g(x)}{e^x-x} sur l'intervalle [0;1] tout simplement !!

Or d'après la question 2 de partie A, g(x)>0 sur [0;+inf[, donc a fortiori >0 sur [0;1] aussi. De plus, d'après la question 3, e^x-x 0 sur [0;+inf[, donc aussi sur [0;1] !
Enfin, que dire du signe de 1-x sur [0;1] ?? Une simple étude montre que c'est positif sur cet intervalle !!

Finalement, sur [0;1], on a donc f(x)-x 0, soit encore f(x) x.

Par conséquent, la courbe C est bien au-dessus de la droite (D) d'équation y=x.

Partie C :
1) Pas compliqué.
2) La démonstration se fait bien sûr par récurrence... Par contre ta démo est mal rédigée !!
L'initialisation est évidente... Mais tu n'as nullement prouvé la propriété pour n=0 dans ce que tu as fait !! Tu n'as démontré qu'une partie de l'inégalité...
Ici, tu dois aussi calculer la valeur de U1 !! Ce qui n'est pas trop compliqué à faire...

Hérédité : La démo est très approximative...
Tu pars de l'HR :
1/2 \leq U_n \leq U_{n+1} \leq 1.
Or par croissance de la fonction f sur [0;1], on a donc :
f(1/2) \leq f(U_n) \leq f(U_{n+1}) \leq f(1) (l'ordre des inégalités est conservé)

Il reste donc plus qu'à calculer f(1/2) et f(1) pour conclure...

3) Ok. Suite coirssante et majorée par 1 donc convergente.

Posté par
fenamat84
re : DM de Maths sur la fonction exponentielle 26-11-16 à 13:08

Messages croisées avec Manny06...

Pour la question 3 partie C... ah oui je n'ai pas vu qu'il fallait aussi déterminer la limite...
Cette limite est solution de l'équation f(L)=L comme le dit si bien Manny...

Soit encore f(L)-L = 0 ... puis utiliser la question 3a peut s'avérer être utile...

Posté par
elodie1999
re : DM de Maths sur la fonction exponentielle 26-11-16 à 14:01

Merci de m'avoir répondu, pour la partie À la question 1, j'ai bien fait un tableau de variation de la fonction g, et elle est strictement croissante sur [0;+inf[.
Pour la question 2) de la partie B,  j'ai compris je n'ai pas besoin de calculer la dérivée pour savoir les variations de la fonction f sachant qu'il est donner dans l'énoncé, du coup je calcule juste f(0) =0 et f(1)=1
J'en conclut que puisque la fonction f est strictement croissante sur [0,1] alors pour tout x €[0,1] f(x) €[0,1]

Pour la 3)à) de la partie B je vois, il faut partir que d'une expression pour trouver l'autre et non pas des deux expressions.

Pour la 3)b) d'accord je vais enlever la phrase il faut déterminer sur quel intervalle on a C au dessus de (D)
Mais je trouve bien que C est au dessus de (D) sur [0,1]

Pour la partie C question 2) et 3) je vais les refaire et je vous enverrai ce que j'ai trouver.

   Encore merci

Posté par
elodie1999
re : DM de Maths sur la fonction exponentielle 26-11-16 à 18:13

Du coup j'ai refais les questions 2) et 3) de la partie C

2) U0= 1/2 [0,1]
U0 [0,1] si Un [0,1]
Un+1= f(Un) [0,1] d'apres partie B 2)
donc pout tout nN Un[0,1]
pour tout x[0,1] on sait que f(x)-x0 d'apres 3) partie B
on en deduit donc f(Un)-Un0
soit Un+1-Un0
la suite (Un) est donc croissante pour tout nN
on a donc UnUn+1

Initialisation: pour n=0 et n=1
u0=1/2 et u1 0.56
1/2u0u11
donc vrai pour n=0 et n=1

Heredite : Si pour un rang n fixe on a 1/2UnUn+11 demontrons que 1/2Un+1Un+21

1/2UnUn+11 d'apres hypothese de recurrence
or par croissance de la fonction f sui [0,1] on a donc :
f(1/2)f(Un)f(Un+1)f(1)
1/20.56Un+1Un+21

conclusion : pour n=0 et n=1 1/2u0u11 et la propriete est hereditaire donc pour tout nN on a 1/2UnUn+11

3) La suite (Un) est croissante et majoree par 1 or toute suite croissante et majoree est convergente donc la suite (Un) est convergente. Elle converge vers une limite L1.
La limite est la solution de l'equation f(L)=L de plus cette solution doit etre superieur a 1/2 puisque 1/2UnUn+11 demontrer precedemment
or f(x)-x=0 si et seulement si (1-x)g(x)=0
puisque (e^x)-x0 d'apres 3) partie A
1-x=0      g(x)=0
x=1           on sait que g(0)=0
                     x=0

cette limite est superieur a 1/2 donc ce n'est pas 0 donc c'est 1

par consequent lim (n tend vers +) Un =1

est ce qu'il n'y a pas d'erreurs?

Posté par
fenamat84
re : DM de Maths sur la fonction exponentielle 26-11-16 à 18:57

2)

Citation :
U0= 1/2 [0,1]
U0 [0,1] si Un [0,1]
Un+1= f(Un) [0,1] d'apres partie B 2)
donc pout tout nN Un [0,1]
pour tout x [0,1] on sait que f(x)-x0 d'apres 3) partie B
on en deduit donc f(Un)-Un 0
soit Un+1-Un 0
la suite (Un) est donc croissante pour tout nN
on a donc UnUn+1


Toute cette partie est inutile !! Puisque la démonstration se fait dans la récurrence même... (en ayant démontré par récurrence que : 1/2 Un Un+1 1, tu montres déjà que (Un) est une suite croissante !)

L'initialisation se fait pour n=0 !! Pas n=0 et n=1... (de toute façon elle sera aussi vraie pour n=1...)
En calculant U0 = 1/2 et U10.56.
Donc pour n=0, on a bien 1/2 U0 U1 1.
Donc la propriété est vraie au rang 0.

De même lorsque tu conclus : D'une part, pour n=0... !! Pas n=0 et n=1...
1/2 u0 u1 1.
D'autre part, l'hérédité montre qu'elle est aussi vraie au rang n+1.

3) Pour être rigoureux, on résout f(L)=L avec L la limite recherchée.
Donc :
f(L)-L = 0
(1-L)g(L)/((e^L)-L)=0 !!
Citation :
puisque (e^x)-x 0 d'apres 3) partie A

Cette ligne est inutile puisqu'on multiplie par 0...
On a donc directement : (1-L)g(L) = 0 !!
On a alors :
1-L = 0 <=> L=1.
ou bien
g(L)=0 <=> L=0 qui est impossible car 1/2.

Ainsi L=1.

Posté par
elodie1999
re : DM de Maths sur la fonction exponentielle 26-11-16 à 19:25

Ok d'accord, merci de votre aide! 😊 Je ferai plus attention sur ces points là pour les contrôles.

Posté par
fenamat84
re : DM de Maths sur la fonction exponentielle 26-11-16 à 23:05

De rien et bonne continuation.



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