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DM de maths sur les suites arithmético-géométrique
Bonjour,
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ? J'ai un DM de maths à faire et je suis bloquée de la question 1)d) jusqu'à la fin...
Mon sujet :
1) Soit (un) la suite définie par u0=8 et pour tout entier naturel n, n+1 = 0,85un+1,8.
Soit (vn) la suite définie par vn=un-12.
a) Démontrer que (vn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b) Exprimer, pour tout entier naturel n, vn en fonction de n.
c) En déduire que, pour tout entier naturel n : un=12-4×0,85^n.
d) Donner le sens de variation de le suite (vn). En déduire celui de la suite (un).
2) Un magazine est vendu uniquement par abonnement. On a constaté qu'il y a 1800 nouveaux abonnés chaque année et que, d'une année sur l'autre, 15% des abonnés ne se réabonnent pas. En 2010, il y a 8000 abonnés.
a) Montrer que la situation peut être modélisée par la suite (un) définie à la question 1 si un de signe le nombre de milliers d'abonnés en (2010+n).
b) En déduire une estimation du nombre d'abonnés en 2015.
c) Si la tendance se poursuit, le magazine parviendra-t-il à dépasser la barre des 12000 abonnés ? Justifier.
Pour le moment, j'ai répondu (les détails de mes réponses sont sur ma copie) :
1)a) La suite (vn) est géométrique de raison q=0,85 et de premier terme vo=-4.
b) vn=-4×0,85^n
c) un=12-4×0,85^n
d) La suite (vn) est croissante. Mais ici, je ne sais pas comment faire pour la suite (un).... Et pour les questions suivantes....
Bonjour
vous avez montré que la suite est croissante
qu'est-ce qui vous empêche de faire la question 2
le nombre d'abonnés en
perte de 15% des abonnés
augmentation de 1800 nouveaux abonnés donc +1,8
par conséquent en
Je suis désolée mais je ne comprends toujours pas comment trouver le sens de variation de (un)...
Pour la question 2)a) Je suis d'accord avec vous par rapport à : un+1= un×0,85+1800
Ce qui me pose soucis c'est que je ne comprends pas le lien avec la question 1 et donc comment y répondre
Pour la question 2)b) je serais tentée de prendre la calculatrice et chercher u5 qui est d'ailleurs égal à 10225 mais dans la consigne il est écrit " en déduire une estimation" donc je ne sais pas comment y répondre...
Et pour la question 2)c) Selon moi oui la magazine arrivera à dépasser la barre des 12000 abonnés parce que ça ne fait qu'augmenter mais je ne sais pas comment y répondre non plus
oui, une fois que tu as trouvé que vn=-4×0,85^n tu peux en déduire le sens de variation de vn. vn est croissant (il part de -4 ,devient de plus en plus petit et tend vers 0 donc il est croissant.
et du coup un aussi puisque un=vn+12.
(la somme d'une suite constante et d'une suite croissante est forcement croissante)
la suite est croissante si pour tout
vous avez montré que est croissante donc pour tout
or vous pouvez simplifier et donner le signe de cette expression
vous avez omis une chose le nombre d'abonnés est en milliers
si
donc 1800=1,8 millier et 8000 donne bien 8 milliers et u_0=8
puisque vous avez montré que la situation était décrite par la suite définie en 1 on peut alors calculer
vous avez
quelle est la limite de
D'accord merci j'ai compris !
Et pour le reste des questions vous pourriez m'aider s'il vous plaît ?
Ah oui c'est vrai c'est en millier
Le limite de (un) est 12 puisque la limite de -4×0,85^n est égal à 0 et la limite de 12 c'est 12 donc 0+12 est égal à 12
Mais ça nous sert à quoi de savoir la limite de (un) ?
Donc, si je comprends bien
Pour la question 2)b) il faut faire :
un=12-4×0,85^n
u5=12-4×0,85^5
u5=10,23
Et pour la dernière question la magazine ne parviendra pas à dépasser les 12000 abonnés puisque la limite de la suite (un) est 12 donc 12000 abonnés
C'est ça que vous me dites ?
vous calculez et vous revenez au problème en disant qu'une estimation du nombre d'abonnés en 2015 est de 10230
pour c) oui
Pourquoi vous me dîtes que l'estimation des abonnés en 2015 est de 10230 et pas de 10,23 comme me donne le résultat ?
on va dans l'autre sens
désigne le nombre de milliers d'abonnés en (2010+n).
u_5=10,23 donc il y a 10,23 milliers soit 10230
2 a
en 2010 8000 abonnés donc 8 milliers
le nombre d'abonnés, en milliers , en
perte de 15% des abonnés
augmentation de 1800 nouveaux abonnés soit en millier 1,8 donc +1,8
par conséquent en on aura
ce qui correspond bien à
avec
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