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dm de maths sur théorème du toit
Bonjour, j'ai un exercice de dm de maths à rendre en fin de semaine. J'aurai donc besoin d'aide. L'exercice est le suivant :
L'L'objectif est de démontrer le théorème du toit et de voir une application.
Soit P et P' deux plans distinct et se canots en une droite delta.
Soit d une droite de P et d' une droite de P' telles que d et d' soient strictement parallèlesur. On veut démontrer que delta est parallèle à d et d'.
1. Soit u un vecteur directeur de d. Justifier qu'il s'agit également d'un vecteur directeur de d'.
2. Soient v et w deux vecteurs non nuls tels que P est dirigé par u et v et P' est dirigé par u et w. Soit p un vecteur directeur de delta
a. Les vecteurs v et w peuvent ils être colineaires ? Justifier
b. Justifier qu'il existe deux réels a et b tels que p: au + bv
c. Justifier qu'il existe deux réels c et d tels que p: cu + dw
3. On suppose ici que b est différent de 0
a. Montrer qu'on peut décomposer v à l'aide de u et w.
b. En déduire que les couples (u, v) et (u, w) dirige le même plan.
c. Que dire dans ce cas de P et P' ?
4. En déduire que b = 0 et conclure
Ps: je n'ai aucune figure avec l'exercice.
Je ne comprend pas, veuillez m'aider, merci de votre aide.
Bonne soirée
1. d et d ' sont strictement parallèles donc leurs vecteurs directeurs sont colinéaires donc si u est un vecteur directeur de d, il est également un vecteur directeur de d '.
2. a. Si les vecteurs v et w sont colinéaires, les plans P dirigé par u et v et P ' dirigé par u et w sont parallèles or P et P ' sont deux plans distincts et sécants en une droite Δ donc les vecteurs v et w ne sont pas colinéaires,
b. Le plan P est dirigé par u et v, Δ est une droite de P et p est un vecteur directeur de Δ donc il existe deux réels a et b tels que p = a u + b v
c. Le plan P ' est dirigé par u et w, Δ est une droite de P ' et p est un vecteur directeur de Δ donc il existe deux réels a et b tels que p = c u + d w.
3. a. p = a u + b v = c u + d w donc b v = c u + d w - a u soit b v = (c - a) u + d w
Si b ≠ 0, donc on peut décomposer v à l'aide de u et w.
b. Si b ≠ 0, donc v est un vecteur du plan de base (u , w) donc les couples (u , v) et (u , w) dirigent le même plan.
c. Les couples (u , v) et (u , w) dirigent le même plan donc P et P ' sont parallèles
4. Si b ≠ 0, b = 0 et les plans P et P ' sont parallèles ce qui est exclu par l'énoncé : P et P ' deux plans distincts et sécants donc l'hypothèse b ≠ 0 est fausse donc b = 0
p = a u + b v et b = 0 donc p = a u, p est un vecteur directeur de Δ et u un vecteur directeur de d donc Δ est parallèle à d
d et d ' sont parallèles et Δ est parallèle à d donc d ' et Δ sont parallèles.
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