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Dm de maths terminale s
Bonjour, bonsoir.
J'aurais besoin d'un petit coup de main de votre part pour l'exercice 2 de mon DM. Je ne comprends pas vraiment comment faire...
1- Dans un repère, tracer la courbe C représentative de la fonction f : x ! x 3 et placer A (-5 ; -4). Jusque la rien de compliqué
2- Montrer que la tangente à C au point M1 d'abscisse 0,5 passe par A. Idem ce n'est pas compliqué
3-nous allons chercher s'il existe d'autres tangentes qui passent par A. Pour cela, on considère un point M de C d'abscisse a.
a) montrer qu'une équation de la tangente à C en M est 2a^3 − 3(a^2)x + y = 0.
b) De quelle équation le nombre a doit-il être solution pour que la tangente en M passe par A?
c) j'ai réussi à montrer que 2a^3 + 15a^2 -4=(2a -1)(a^2 +8a +4)
d) Résoudre dans R l'équation2a^3 +15a^2 − 4 = 0.
e) En quels points de C, la tangente à C passe-t-elle par C ?
4- on cherche par quels points du plan on ne peut pas tracer de tangente à C. Pour cela on considère la droite Δ parallèle à l'axe des ordonnées et
passant par A.
a. J'ai réussi à montrer que les coordonnées d'un point B de Δ sont (-5 ; b) avec b un réel.
b. Montrer que le nombre de tangentes à C passant par B est le nombre de
solutions de l'équation d'inconnue a : 2a^3 + 15a^2 + b = 0 .
c. Tracer la courbe de la fonction g(x) = 2x^3 +15x^2 . Donner graphiquement, en fonction de b, le nombre de solutions de 2x^3 +15x^2 + b = 0
d. Préciser où doit se trouver le p oint B sur Δ pour que l'on puisse tracer une,
deux ou trois tangentes C en B.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses et explications.
Bonne journée/soirée à tous
Bonjour,
la question 3-a n'est pas très compliquée.
Il suffit d'appliquer la formule de l'équation de la tangente en a :
.
Tu essaies ?
Ah oui merci, j'avais déjà noté cette formule sur mon brouillon sauf que je coince. Je sais que f'(a) est la fonction dérivée de f(a) mais je ne sais pas quelle est la valeur de f(a) ... x^3 ?
Bonjour'
f(x) = x ! x 3 ?????
Quelle drôle de définition !
Pour savoir comment bien rédiger son message il faut lire dans la FAQ les réponses aux questions 10 et 27 : 
[lien]
Désolée je ne vois pas comment faire ... pourriez vous m'expliquer svp ?
(J'ai pas mal de lacunes sur ce chapitre car je ne l'ai pas vu l'année dernière à cause de soucis de santé :/ )
Pas de panique.
Il vous suffit juste de remplacer x par a.
L'équation à laquelle vous devez arriver dépend de a donc il ne faut pas chercher à avoir une valeur chiffrée.
Je reprends donc : si f(x)=x^3.
f(a)= ... ; f'(a)=...
Si la fonction f est une fonction de variable x telle que f(x) = x3
Cette fonction est définie sur 
et pour tout x de ,
alors f'(x) = 3x2
Donc pour a un réel quelconque f'(a) = 3a2
Car si la fonction dépend de x , alors f(a) est un nombre réel indépendant de x donc constant et la dérivée de cette fonction constante est la fonction nulle.
Toujours pas trouvé de réponse pour la question 3b...
J'ai avancé pour la 3d mais je ne sais pas si je m'y prends bien.
On doit résoudre l'équation 2a^3 + 15a^2 -4 =0
J'ai constaté qu'il s'agit d'une équation de degré 3 pour laquelle a=2, b=15, c= 0 et d =-4 de forme ax^3 +bx^2 + cx + d =0
J'ai commencé par diviser notre équation par a (c'est a dire 2).
Donc on a x^3 + (15/2)x^2 -2 =0
J'ai ensuite posé x= X -(b/3a)
Je vous épargne les calculs et je trouve X^3 -(75X)/4 +117/4 =0
On a donc une équation de forme X^3 +pX+q=0 avec p=-75/4 et q =117/4
J'ai posé D = (q^2)/4 + (p^3)/27
Afin de pouvoir voir si D< ou > 0 pour voir le nombre de solutions.
Je trouve D = -121/4
Donc D<0 mais après je ne sais pas comment faire pour trouver les solutions ??
Bonjour,
la 3d on connait déja une solution de cette équation: elle est donnée dans l'énoncé !!
on est donc ramené après factorisation par (x-...) à une équation du second degré
inutile de chercher la théorie des équations générales de degré 3 pas vue en cours !!
Merci mathafou ! C'est vrai que je n'ai pas vu ça en cours c'est beaucoup trop complexe
Effectivement on connaît la solution 0,5 qui est donnée dans l'énoncé
Par factorisation faut-il faire
x(2x^2 + 15x -4/x) = 0 ???
ce qui impliquerait que x=0
Et 2x^2 +15x -4/x =0
Est-ce correct ?
j'ai écrit qu'on factorise par (x- ...) !! pas par x !! 
c'est à dire par (x-0.5)
de façon générale si u est une solution de l'équation P(x) = 0, P(x) un polynome quelconque,
on peut factoriser P(x) =(x - u)Q(x)
plus de 30mn que je cherche..
Je n'ai trouvé que (x-0,5)*((4x^3 +30x^2 -8)/(-1 +2x))
Est ce qu'il faut trouver ?
Et en quoi est ce que cela aide pour la question? :/ je suis perdue
non
d'abord c'est pas un polynôme ni une équation en x mais une équation en l'inconnue a qu'on cherche à résoudre
2a^3 + 15a^2 -4 = 0
factoriser 2a^3 + 15a^2 -4 = 0 par a-0.5 (ou par 2a - 1 !! )
c'est déja fait question c !!
Donc d'apres la question c on a :
(2a -1)(a^2 +8a +4)
Si (2a -1)(a^2 +8a +4) = 0 ,
Hypothèse 1
(2a -1) = 0
2a = 1 donc a = 1/2
Hypothèse 2
a^2 +8a + 4 = 0
Polynôme du second degré qui prend la forme ax^2 + by + c = 0
Avec a=1 b=8 et c=4
Calcul du discriminant :
(b^2)-4ac = 8^2 - (4*1*4)
=64-16 =48
Comme 48>0, delta>0 donc il y a deux solutions réelles x1 et x2 a cette équation.
Après les calculs je trouve
x1 = -0.53589838486225
x2 = -7.4641016151378
Donc les solutions de l'equation sont 0,5;x1;x2
Est ce correct ?
beurk
racine de 48 s'écrit ou
et pas 6.9282032302755091741097853660235...
et c'est pas x1 et x2 mais a1 et a2 (l'inconnue s'appelle a et l'équation est une équation en l'inconnue a)
sinon tes valeurs approchées sont bonnes
mais on ne donne jamais des valeurs approchées sans donner d'abord de toute façon les valeurs exactes avec les racines écrites racine.
a1= -4 + 2√3 ≈ -0.5359
etc
D'accord je vois! Je ne referais plus cette erreur, merci beaucoup à vous mathafou!!
Une piste pour la 3b/3e ? :/
si tu fais les questions dans le désordre ... tu ne risques pas de comprendre la logique de l'exo !!
c'est justement la 3b qui donne l'équation de la 3d, et la 3c sa méthode de résolution !
La 3b, c'est écrire que l'équation de la tangente en M(a; f(a)) (équation déterminée en (3a) !) est satisfaite par les coordonnées de A
c'est bien ce qu'on fait pour savoir si une droite passe par un point donné ? non ?
et cette égalité que tu vas obtenir en 3b c'est justement l'équation qui est marquée dans la question 3d de l'exo !
donner les réponses aux questions précédentes est une pratique courante pour permettre de vérifier ses calculs. (et avoir tout de même quelques points même si on ne sait pas tout faire)
quant à la 3e tu es sur de ton énoncé ??
ça ne veut rien dire " En quels points de C, la tangente à C passe-t-elle par C ? "
sans doute :
"En quels points de C, la tangente à C passe-t-elle par A ?"
c'est exploiter la signification de tout ce qu'on a fait dans la question 3 :
on vient de calculer question 3d les abscisses de ces points !!
Donc pour la 3b du coup, le nombre a doit-être solution de l'équation suivante : 2a^3 + 15a^2 -4=0 afin que la tangente en M passe en A. ??
Oui c'est bien ce qui était noté sur l'enoncé... peut-être pour cela que je ne comprenais pas du tout ...
donc pour la 3e il suffit de trouver les ordonnées de ces points pour pouvoir avoir toutes leurs coordonnées ?
il ne s'agit pas de simplement recopier des réponses données dans l'énoncé, il faut les justifier par un calcul effectif.
équation de la tangente en (a; f(a) )
tu as sauté cette question en partant directement sur la 3d avant de terminer effectivement la 3a
ensuite 3b écrire effectivement à partir de cette équation de tangente que cette droite passe par A
et ensuite arranger l'équation obtenue qui n'est pas encore sous la forme de la réponse définitive.
la 3e oui, ce sera ça, calculer les ordonnées de points dont on connait les abscisses
Merci de votre aide! Je vais essayer de rédiger tout ça correctement et puis je vous ferai part de mes réponses histoire de faire le point 
Bonjour/Bonsoir à toutes et à tous
Voici mes réponses pour l'exerice :
3a) On sait que la formule de l'équation de la tangente en A est :
y=f(a)+f'(a)(x-a)
Si f(x)=x^3, la fonction est définie sur IR pour tout x de IR.
Donc, pour un réel a quelconque, on a f(a)=a^3
Si l'on dérive f(a), on obtient f'(a)=3(a^2)
Ainsi, on remplace dans l'équation.
y=a^3 +(3*a^2)(x-a)
y=a^3 + 3*(a^2)*x -3(a^3)
y= -2(a^3) + (3*(a^2)*x)
2(a^3) -3*(a^2)*x +y =0
L'équation de tangente à C en M est 2(a^3) -3*(a^2)*x +y =0
3b) On a A(-5;-4) avec x=-5 et y=-4,
On sait que 2(a^3) -3*(a^2)*x +y =0
Alors on a : 2(a^3) -3*(a^2)*(-5) -4=0
soit 2(a^3) +15(a^2) -4=0
le nombre a doit être solution de l'équation suivante afin que la tangente en M passe par A : 2(a^3) +15(a^2) -4=0
3c) On veut montrer que (2a -1)(a^2 +8a +4) = 2(a^3) + 15(a^2) -4
J'ai donc développé (2a -1)(a^2 +8a +4) et j'ai bien trouvé que c'était égal à 2(a^3) + 15(a^2) -4
3d) On veut résoudre dans IR l'équation suivante :
2(a^3) + 15(a^2) -4=0
comme, 2(a^3) + 15(a^2) -4=(2a -1)(a^2 +8a +4) alors, (2a -1)(a^2 +8a +4)=0
-Hypothèse 1 : 2a -1=0
2a=1
donc a=0,5
-Hypothèse 2 : a^2 +8a +4=0
Il s'agit d'un polynôme du second degré de forme ax^2 +by +c=0 avec a=1 b=8 et c=4
Calcul du discriminant : (b^2)-4ac = 64-16=48
Comme 48>0, il existe deux solution réelles x1 et x2
pour x1 je trouve -4 -2racinede3
pour x2 je trouve -4 +2racinede3
(désolée je ne sais pas comment faire cette notation)
donc, dans IR, les solutions sont -4 -2racinede3 ; -4+2racinede3 ; 0,5
3e) On doit calculer les coordonées complètes des points dont on connaît déjà les abscisses.
C a pour équation : y=x^3
On a un premier point que l'on nommera D d'abscisse x=-4 -2racinede3
y=(-4 -2racinede3)^3
y= -415,8460969
On a un second point que l'on nommera E d'abscisse x=-4 +2racinede3
y= (-4 +2racinede3)^3
y= -0,1539030917
On a un troisième point que l'on nommera F d'abscisse x=0,5
y=(0,5)^3
y=0,125
donc on a les points D(-4 -2racinede3 ; -415,8460969) , E(-4 +2racinede3 ; -0,1539030917) et F(0,5 ; 0,125) qui appartiennent à C pour lesquels la tangente à C passe par A.
4a) La courbe delta admet la droite d'équation x=-5.
Cette droite est parallèle à l'axe des ordonnées et est asymptote verticale à la Courbe C. Donc les coordonnées d'un point placé sur la courbe delta seront forcément (-5 ; b) avec b un réel.
Est-ce correct ??
Je n'ai pas trouvé pour les questions 4b, 4c, 4d. Quelqu'un pourrait-il m'aider ? Merci beaucoup d'avance !
Agréable journée/soirée
"Si l'on dérive f(a), on obtient f'(a)=3(a^2)"
C'est faux ! On dérive une fonction et f(a) est un nombre donc quand on dérive la fonction u qui vaudrait f(a) on obtiendrait 0
Je ne suis pas allée plus loin.
Désolée pour cette erreur cocolaricotte,
En effet c'est f(x) =x^3 que l'on dérive ce qui nous donne :
f'(x) = 3x2
donc pour un réel quelconque a, on aura f'(a) = 3(a^2)
y= -2(a^3) + (3*(a^2)*x)
2(a^3) -3*(a^2)*x +y =0
L'équation de tangente à C en M est 2(a^3) -3*(a^2)*x +y =0
bof
après y = 3a2x -2a3 on a un peu l'impression de tourner en rond
une équation réduite suffit
de vrais exposants (bouton X2) sont plus lisibles que des ^
ajouter des pléthores de parenthèses inutiles n'aide pas à la lecture non plus.
rien à redire sur la suite (à part la lisibilité avec des vrais exposant et le symbole spécial 
qu'on obtient avec le bouton 
)
4a La courbe delta admet la droite d'équation x=-5. ???
la droite delta a pour équation x = -5 suffit et est plus clair que ce truc bizarre quasi incompréhensible...
pour 4b) il s'agit de refaire la question 3a/3b avec le point B au lieu du point A
4c c'est tracer à la calculette et regarder (lecture graphique)
4d c'est interpréter les résultats de la lecture graphique de la 4c en reportant sur la droite delta les ordonnées b que l'on a trouvées question 4c.
Merci mathafou!
Pour la 4B j'ai noté la réponse suivante :
On sait que la formule de l'équation de tangente est la suivante : y=f(a) +f'(a)(x-a)
Avec f(a)=a3 et f'(a)=3a2
On remplace dans l'équation :
y=a3 + (3a2)(x-a)
y=a3 + 3a2x -3a3
y=-2a3 +3a2x
0=2a3 -3a2x +y
On a un point de coordonnées (-5;b) avec x=-5 et y=b
On a 2a3 -3a2x +y
On remplace avec les données :
2a3 -3a2*(-5) +b
= 2a3 +15a2 +b
Donc le nombre de tangentes à C passant par B est le nombre de solutions de l'équation d'inconnue a suivante :
2a3 +15a2 +b
Est-ce correct et suffisant comme justification?
ce que tu as écrit en dernier n'est pas une équation du tout, donc non !!
tout ça parce que tu écris des calculs sans écrire à quoi est égal ce que tu calcules
0=2a3 -3a2x +y OK
On a 2a3 -3a2x +y faux
On a 2a3 -3a2x +y = 0
etc
C'est rectifié merci !
Donc le nombre de tangentes à C passant par B est le nombre de solutions de l'équation d'inconnue a suivante :
2a3 +15a2 +b =0
Oui, et ça suffit pour cette question.
cette équation est équivalente à 2a3+15a2= -b
d'où la question suivante en traçant ce qui est dit.
D'accord merci !
J'ai bien compris que 2a3 +15a2 +b=0
2a3 +15a2=-b
Je trouve une parabole mais je ne vois pas comment lire les résultats ??
Il y aurait un reû
D'accord merci !
J'ai bien compris que 2a3 +15a2 +b=0
2a3 +15a2=-b
Je trouve une parabole mais je ne vois pas comment lire les résultats ??
ce n'est pas du tout une parabole !
(fenêtre d'affichage mal réglée)
b = 0 ?? ça n'a rien à voir avec ce qu'on demande
on demande le nombre de solutions de l'équation selon les valeurs de b
(rappel c'est x - alias a - l'inconnue de cette équation)
du genre si b < telle valeur il n'y a qu'une seule solution
si b entre telle et telle valeur il y a trois solutions etc
Effectivement, en changeant de fenêtre d'affichage on voit que cette fonction s'annule lorsque x vaut 0 et -7,5
Est-ce juste ?
Donc, on constate à l'aide du graphique qu'il existe deux solutions de l'équation 2x3 +15x2 +b=0
on ne cherche pas à résoudre 2x3+15x2 = 0 !!
mais pour quelles valeurs de b la droite horizontale y = -b coupe la courbe en 1, 2 ou 3 points
J'ai tracé une courbe (je n'arrive pas à partager de photos sur le forum)
Mais je ne sais pas comment m'y prendre pour répondre à la 4c/4d même avec vos explications ... :/
(je n'arrive pas à partager de photos sur le forum)
lire la FAQ [lien]
c'est les photos de textes qui sont interdites, pas les photos ou autres images de figures et graphiques !!
avec Geogebra j'obtiens ça :
avec cette valeur de b j'ai trois solutions A, B, C (leurs abscisses) à l'équation 2x3+15x2 = -b
c'est à dire à 2x3 + 15x2 +b = 0
on demande d'étudier le nombre de ces intersection selon la valeur de b (la position de la droite y =-b)
Merci !! J'y vois beaucoup plus clair avec votre courbe. (J'ai sans doute un gros soucis d'echelle...)
Donc cela implique que lorsque b<0 on a une seule solution à l'equation 2x3 +15x2 +b=0
Lorsque -130
b
0 il y a trois solutions à cette équation
Et lorsque b>-130, il y a a nouveau une seule solution
Est-ce correct?
-130b0
Merci !! J'y vois beaucoup plus clair avec votre courbe. (J'ai sans doute un gros soucis d'echelle...)
Donc cela implique que lorsque b<0 on a une seule solution à l'equation 2x3 +15x2 +b=0
Lorsque -130
b0 il y a trois solutions à cette équation
Et lorsque b>-130, il y a a nouveau une seule solution
Est-ce correct?
des erreurs de logiquesur tes intervalles (incohérents tels que tu les décrits)
lorsque -b < 0 ça veut dire b > 0
-b > 130 ça veut dire b < -130
-130 est < 0 !
donc "b entre -130 et 0" c'est -130 < b < 0 (bornes exclues car en ces bornes deux solutions seulement)
comment as tu trouvé ton -130 ?
par lecture graphique on n'a pas beaucoup de précision pour voir ça
mais rien n'empêche de zoomer sur le "sommet" de cette courbe
ou mieux encore :
sommet = tangente horizontale = dérivée nulle
donc on peut calculer exactement ce sommet !
Merci pour le coup de pouce!
Je trouve :
-Lorsque b>0 ou b<-125, il existe 1 solution
-Lorsque b=0 ou b=-125 il existe 2 solutions
-Lorsque -125<b<0 il existe 3 solutions
Il s'agit bien de la réponse à la 4d ?!
Mais pour la 4c je dois noter qu'il existe deux solutions à l'équation 2a3 +15a2 +b=0 ?
non c'est la 4c cette réponse : nombre de solutions selon les valeurs de b
4c on te demande le nombre de solutions d'une certaine équation en fonction des valeurs de b
4d c'est retraduire cela en terme de positions de B (mais b c'est l'ordonnée de B !!) et de nombre de tangentes (mais l'équation ci dessus sert justement à trouver les tangentes !!)
donc la 4d c'est du baratin pour conclure sur l'exo.
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