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DM De Spé Math
Bonjour,
Je vous explique mon problème. J'ai un dm sur la divisibilité et la congruence.
L'exercice 1 est résolu, mais le 2e pas du tout.
Voici l'énoncé :
Exercice 2 :
1. a) Déterminer le reste de la division euclidienne de 3n par 13 pour n entier compris entre 0 et 10.
b) Que peut-on conjecturer ?
c) Le démontrer
2. On désigne par n un entier non divisible par 3. Démonter que 3n + 32n + 33n est un multiple de 13.
Donc, je n'arrive pas à faire la question 1. a) j'ai essayé de poser la division sous la forme a=bq+r avec a le numerateur, b le dénominateur, q le quotient et r le reste, mais je n'y arrive toujours.
C'est donc après 4h d'étude non concluante, que je me tourne vers vous.
Merci d'avance, au revoir.
Bonjour,
1.a) Pour cette question, tu cherches probablement midi à 14h.
C'est en fait tout simple, de niveau collège.
Prenons par exemple n=4
3n=81
Quel est le reste de la division euclidienne de 81 par 13 ?
Il suffit de poser la division...
Bonjour
Je ne vois pas ou est ton problème! Tu sais calculer les puissances de 3? et faire une division euclidienne, non? Et d'ailleurs on n'est même pas obligés de le faire complétement! Quand j'écris il s'agit de congruence modulo 13 bien sur!
... et à partir de là tu les a tous sans aucun calcul!
(j'ai fait un peu plus fort que le collège!)Donc ensuite on a,
b) On peut donc dire que pour tout n entier 
à [0;10] on a un reste impair.
c) a = bq+r
a = 13q+r
Si anun entier avec n pair, alors a est un entier impair.
Or, un nombre impair diviser par un nombre impaire donne un quotient pair.
On peut donc poser a'=13q+r
a'-13q=r
donc on a a'-13q impair, donc r est impaire
D'autre part, si an un entier avec n impair, alors a est un entier pair.
Or un nombre pair diviser par un nombre impaire donne un quotient impaire.
On peut donc poser a"=bq+r avec a" un entier pair
a"-13q=r
on a donc a"-13q impair
donc r est impaire.
Donc pour tout entier n à [0;10] on a un reste impair.
N'est ce pas ?
Oui, mais tu donnes beaucoup de mal pour pas grand chose... Si tu avais lu mon post, tu saurais que les seuls restes possibles pour sont 1,3, ou 9.
Ok. Quand me dit démontrer, je ne pensais pas qu'on pouvait marquer que ça.
Et pour la question 2, je prends donc une valeur n quelconque (non divisible par 3) et je développe non ?
Par ex, si on prend n=1
31 +3²+33 = 39
30/13=3 Donc 3n + 32n + 33n est bien un multiple de 13
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