Niveau terminale

dm de spé maths sur les congruences

Posté par aymecesaire (invité) 10-12-05 à 13:23

Bonjour a tous j'ai un dm de spé math a rendre pour la semaine prochaine et j'ai un petit probleme avec un exo le voici

On recherche une puissance de 2(resp de 3) immédiatement consécutive à une puissance de 3(resp de 2)
1/Soit (e): 3^m-2ⁿ=1 (m,n dans ) en travaillant modulo 3 montrer que n impair. Examiner alors n=1 puis n>1 ; dans ce dernier cas en travaillant modulo 4 montrer que m est pair. En examinant l'égalité (3^k-1)(3^k+1)=2 en déduire m,n.
2/Soit (e'): 2ⁿ-3^m=1 ; en travaillant modulo 8 montrer que n=0, 1 ou 2 (cad que n3 ne peut avoir lieu). conclure
3/En déduire alors tous les couples (m,n) de tels que |3^m-2ⁿ|=1.

Voila je vous remercie d'avance

Posté par aymecesaire (invité)re : dm de spé maths sur les congruences 10-12-05 à 15:49

personne n'aurait une petite idée??? merci d'avance

Posté par re : dm de spé maths sur les congruences 10-12-05 à 16:29

1/

$2\eq(-1)\;[3]$    donc   $2^n\eq(-1)^n\;[3]$

$3^m\eq0\;[3]$ sauf dans le cas m=0  où $3^0=1$

Si $\red m\ge 1$
$3^m-2^n\eq(-1)^{n+1}\;[3]$
$1\eq(-1)^{n+1}\;[3]$      $\Longrightarrow$ n impair.

Si $\red m=0$
$3^m-2^n\eq1+(-1)^{n+1}\neq 1\;[3]$   (pas de solution dans ce cas).

Posté par re : dm de spé maths sur les congruences 10-12-05 à 16:33

$n=1 \Longrightarrow 2^n=2\Longrightarrow 3^m=1+2=3\Longrightarrow m=1$

$n>1 \Longrightarrow 2^n\eq 0\;[4]\Longrightarrow 3^m\eq 1\,[4]$
Or $3\eq -1\;[4]$ donc $3^m\eq (-1)^m\,[4]$ $\Longrightarrow$ m pair.

Posté par re : dm de spé maths sur les congruences 10-12-05 à 16:42

m pair donc m=2k
$2^n=3^m-1 = 3^{2k}-1 = (3^k-1)(3^k+1)$

2 est le seul diviseur de $(3^k-1)$ et de $(3^k+1)$ .

$(3^k-1)=2^p$ et $(3^k+1)=2^q$
En faisant la différence
$2^q-2^p(3^k+1)-(3^k-1)=2=2^p(2^{q-p}-1)$

Donc $p = 1$ et $q-p = 1$ .
Par la suite
$(3^k-1)=2^p=2$
$(3^k+1)=2^q=4$

$3$\red (m,n)=(2,3)$

Posté par aymecesaire (invité)re : dm de spé maths sur les congruences 10-12-05 à 18:50

merci bcp pr ton aide franz!!

Posté par re : dm de spé maths sur les congruences 10-12-05 à 22:23

Avec plaisir

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de maths

Fiches de niveau terminale
73 fiches de mathématiques en terminale disponibles.

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Cours et Exercices de maths

Forum de maths

college

lycee

Outils de maths

Pages les plus populaires

dm de spé maths sur les congruences

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de maths