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DM de SPE pour demain
Bonjour je n'arrive pas à faire cette exo si quelqu'un pouvait m'aider merci.
Soit Un = 1 + 3 +3² + ...+ 3^(n-1) , où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
Montrer que si Un est divisible par 7 alors (3^n) - 1 est divisible par 7. en déduire les valeurs de n telles que Un soit divisible par 7 .
Merci de votre aide car là je plane!++
Si ta série est infinie, n tends vers l'infini. Dans ce cas, et seulement dans ce cas, tu as Un = 1 + 3 * (Un). Ceci est équivalent à écrire que Un - 1 = 3* (Un). Le membre de droite est divisible par 7 par ton hypothèse. Par conséquent, le membre de gauche l'est aussi.
Si ta série est finie, je ne vois pas.
Bonne chance.
Coup de pouce.
U(n) = 1 + 3 +3² + ...+ 3^(n-1)
U(n+1) = 1 + 3 +3² + ...+ 3^n
3^n = U(n+1) - (1 + 3 + 3² + ... + 3^(n-1))
3^n - 1 = U(n+1) - (1 + 3 + 3² + ... + 3^(n-1)) - 1
3^n - 1 = [U(n+1) - 1] - U(n)
3^n - 1 = (3 +3² + ...+ 3^n) - U(n)
3^n - 1 = 3.(1 +3 + ...+ 3^(n-1)) - U(n)
3^n - 1 = 3.U(n) - U(n)
3^n - 1 = 2.U(n)
Et comme U(n) est divisible par 7, 3^n - 1 aussi.
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Sauf distraction. 
Bonjour
Un=1+3+3²+...+3^(n-1)=(3^n - 1)/(3 - 1)=(1/2)(3^n - 1)
=>Un divisible par 7 => 3^n - 1 divisible par 7
3^0=1 (7)
3^1=3 (7)
3^2=2 (7)
3^3=6 (7)
3^4=4 (7)
3^5=5 (7)
3^6=1 (7)
donc 3^(6k) = 1 (7)
3^(6k) - 1 = 0 (7)
il faut n multiple de 6
Philoux
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