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DM démonstation par récurrence
Bonjour,
Voici l'énoncé
On considère la suite définie par U0 = 3 et la relation Un+1 = √Un+1
1) Calculer les quatres premiers termes de la suite et conjecturer la variation de cette suite
2) Démontrer par récurrence cette conjecture
3) Démontrer que pour tout entier naturel n, 0<Un≤3
Où j'en suis :
1 ) u1 = 2
u2 = √3
u3 = √√3+1 Et c'est là que je bloque. Quelques indices peut-être ?
Et pour la variation je dois calculer la raison ?
2) Je n'ai pas trop bien compris. Faut il faire la démonstration par récurrence (Initialisation-HRD-Etc ..) Ou faut t'il si prendre autrement ?
3 ) Pour cette partie je suppose qu'il faut utiliser la démontration par récurrence en "décomposant" Un+1
Voilà où j'en suis. J'espère que vous m'apporterez quelques indices et je m'excuse si les questions peuvent parfois être bête. (J'ai viens juste de recommencer à travailler sérieusement les maths, je sais pas très futé :/)
Merci d'avance
Bonjour Skyz.
On va écrire plus lisiblement la suite : et
1) Tes valeurs sont bonnes, les as-tu estimées sur ta calculatrice ? Si c'est pas suffisant, calcules-en une ou deux de plus !
Tout d'abord en ce qui concerne ta suite :
C'est ou bien
?
Car vu l'écriture, cela peut prêter à confusion...
Oui pour u3 ca me donne 1.6528...etc Mais comme il y a énormément de chiffre après la virgule je me résous donc à le laisser sous sa forme "brut" √3 dans √+1 Bon en gros après ca me donne à u4 un truc assez moche : √3 dans √+1 et l'ensemble dans √+1 Et je sais pas vraiment si il faut les laisser comme cela
Skyz
Tout d'abord en ce qui concerne ta suite :
C'est
Car vu l'écriture, cela peut prêter à confusion...
Tu n'as toujours pas répondu à mon message de 22h45 !!
Avant de démarrer quoi que ce soit :
La bonne expression de (Un) c'est :
ou bien
Mais comme il y a énormément de chiffre après la virgule
Bah, ça c'est pas grave, tu vois bien en gros si ça croit ou décroit.
Sinon, effectivement, tu peux comparer rigoureusement
Donc je peux en déduire quelle décroit. Ensuite je dois calculer la raison pour prouver cette conjecture ?
Pour ce qui est des racines qui sont elle même dans des racines et pour les résultats aproximatifs je peux noter cela sur ma copie ?
Tout ce que tu sais c'est tu as conjecturé que (Un) est une suite décroissante ! Et rien d'autre...
A présent, quelle est la définition d'une suite décroissante ?
C'est ce que tu devras démontrer par récurrence à la question suivante.
q>1 et u0<0
Je dois donc conjecturer Un+1 > Un ?
Ce que tu écris ne veut rien dire !!
Tu ne connais pas du tout la nature de la suite (Un) !! Et encore moins sa raison....
Ce que tu sais UNIQUEMENT c'est qu'elle est décroissante !! Et rien d'autre !!
Et ce que tu viens d'écrire Un+1 > Un n'est absolument pas la définition d'une suite décroissante...
Euh l'inverse plutôt.
Un+1 < Un
Pourquoi inégalité stricte ?? L'inégalité large marche tout aussi bien...
Tu dois donc montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un+1
Un.Donc pour la première question, la simple justification U1>U2>U3>U4 donc décroissante suffit ?
D'accord pour la démonstration par récurrence mais comment trouver la nature de Un ?
Donc pour la première question, la simple justification U1>U2>U3>U4 donc décroissante suffit ?
Non, elle te permet d'émettre une conjecture que ta suite (Un) est décroissante !!
Tu as en effet vérifié pour les 4 premiers termes, mais à présent tu dois le démontrer dans le cas général !!
Et c'est tout l'objet de la question 2 !! Tu dois démontrer par récurrence sa décroissance.
D'accord pour la démonstration par récurrence mais comment trouver la nature de Un ?
Pourquoi souhaites-tu chercher la nature de (Un) ??
On ne te pose pas la question dessus...
Répond simplement à la question qu'on te pose : démontrer par récurrence que (Un) est décroissante et c'est TOUT!
Bon je vais aller dormir.
Demain boulot...
En espérant que quelqu'un prenne le relais, sinon on reviendra dessus demain.
Bonne soirée.
Je reprends.
Donc question 2 : démontrer par récurrence que la suite est décroissante.
Comment fais-tu une récurrence ?
Tu formules l'hypothèse de récurrence, à savoir la suite (un) est décroissante jusqu'au rang n, c'est-à-dire un<un-1.
1) tu "initialises" au rang 1
2) pour l'hérédité, tu admets l'hypothèse vraie au rang n et tu examines un+1 en utilisant les propriétés de la fonction racine carrée, ce qui permet de conclure que l'hypothèse est héréditaire, puisque vraie au rang n+1.
3) tu conclus....
Montrons que pour tout entier n : Un+1 Un
Initialisation :
U0 = 3, u1 = 
3+1 = 4 =2
Donc la propriété est vraie au rang 0.
HDR :
Supposons que la propriété Un+1 Un est vraie pour un certain entier n et montrons que Un+2 Un+1
Hérédité :
Un+1 Un --> Un+1 Un
--> Un+1 +1Un +1
--> Un+1 + 1 Un +1
Ce qui prouve l'hérédité
Ccl :
Pour tout entier naturel n : Un+1Un donc la suite est décroissante.
Voilà pour la 2, j'espère ne pas mettre planté :/
Pour la 1 je comprends bien que avec seulement 4 Termes on ne peut pas faire une conjecture précise mais seulement on me demande dans l'énoncé de conjecturer la variation de cette suite. Donc comment je fais avec le peu d'éléments que j'ai.
Pour la 3 il suffit juste de refaire la démonstration par récurrence mais juste en "décortiquant" Un+1 pour prouver les inégalités ?
Merci d'avance
Utilisez les indices avec X2 sous la fenêtre où vous écrivez
Votre pavé est illisible
Un+1
Un --> Un+1 Un
--> Un+1 +1
Un +1
-->
Un+1 + 1 Un +1 exemple : Un+1 + 1
Un + 1D'accord Merci. C'était juste car je n'arrivais pas à prolonger la racine carrée jusqu'au bout sur ordinateur. Mais sinon ma démonstration est-elle bonne ? . Et pourrais-tu répondre aux questions en dessous de ma démonstration ?
Merci d'avance 
Une piste pour démontrer proprement la récurrence :
soit au rang n (décroissance connue)
montrer que
En effet
utiliser pour montrer le signe de (a-b) quand a et b sont des racines carrées
Un - Un+1
------------------------------------- (Fraction)
(Un+1)- (Un+1+1)
Je n'arrive pas à simplifier les termes aux dénominateurs
Désolé si c'est un peu fouilli
que pensez-vous de
Développez le numérateur du membre de droite qui donne le signe car le dénominateur est toujours positif
cela s'appelle "transformer en utilisant la quantité conjuguée"
J'ai compris le principe de quantité conjugée mais pour la suite j'avoue que vous m'avez un peu perdu. Je ne comprends pas comment exploiter le résultat que vous avez trouvé
Pour ce qui de Un+1Un pourriez-vous me dire mon erreur ? Car c'est une méthode qui à l'air assez redondante quand on cherche les variations via la démonstration par récurrence.
Merci d'avance
@vham : Inutile de passer par la quantité conjuguée....
Sa méthode fonctionne bel et bien !! (aux erreurs d'écriture d'indice près...)
On part de l'hypothèse de récurrence : Un+1 Un et on souhaite montrer que Un+2 Un+1.
Or :
Un+1 Un
Un+1 + 1 Un + 1 (on rajoute 1 des 2 côtés)
(par croissance de la fonction racine carrée)
Un+2 Un+1.
CQFD !
C'est vrai que j'en ai fait un peu trop cette fois, c'était pour montrer que
un+1-un+2 est toujours du même signe que un-un+1
Avec u0=3 la suite est décroissante, avec u0=1 la suite est croissante. Elles convergent vers une même valeur (qui n'est pas abordée dans l'énoncé) et qui n'est pas le 0 de la question 3)
C'est bon j'ai enfin pû démontrer par récurrence pour la 2. Pour la 3 j'ai également fait la même choses mais de manière différente (avec une inégalité).
Donc pour la première question, la simple justification U1>U2>U3>U4 donc décroissante suffit ?
D'accord pour la démonstration par récurrence mais comment trouver la nature de Un ?
Bon désolé si je reviens sur la 1, donc comme phrase de conclusion pour cette question.
Je mettrai plutôt
U1>U2>U3>U4
Les 4 premiers termes nous permet d'emettre la conjecture pour laquelle la suite est décroissante.
Et la prof ne m'en voudra pas si "j'émets" la conjecture car l'énoncé ne le précise pas ?
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