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DM démonstration exponentielle

Posté par
Noctyle
17-01-21 à 14:20

Bonjour. Voici le but d'un exercice que j'ai à faire pour prochainement :

"Montrer par récurrence que, pour entier naturel n, et pour tout réel x ≥ 0, on a la propriété suivante :

e^x ≥ (x^(n+1))/(n+1)!

Je ne m'en sort pas au niveau de l'hérédité...

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM démonstration exponentielle 17-01-21 à 14:39

Bonjour

Prends pour propriété P_n,

e^x \geq x^{n+1}/(n+1)! pour 0\leq x\leq n+1

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM démonstration exponentielle 17-01-21 à 14:40

... et Bienvenue sur l'!

Posté par
Noctyle
re : DM démonstration exponentielle 17-01-21 à 14:46

Bonjour,

Tout d'abord merci de votre réponse.

Ensuite, je ne comprends pas pourquoi x serait inférieur ou égal à (n+1)  car x≠n.

J'ai bien fait l'initialisation, c'est au niveau de l'hérédité que cela bloque.

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM démonstration exponentielle 17-01-21 à 14:57

Je ne dis pas qu'il l'est. Je dis que je mets aussi cette condition dans la propriété à vérifier.

Posté par
carpediem
re : DM démonstration exponentielle 17-01-21 à 15:14

salut

considère la fonction   f_n(x) = e^x - \dfrac {x^n} {n!} $ avec $ x \in [0, +\infty[

et la propriété à montrer (par récurrence) P(n)  :  f_n(x) \ge 0

...

Posté par
Noctyle
re : DM démonstration exponentielle 17-01-21 à 17:27

Il faut montrer par récurrence ceci :

e^x \geq \frac{x^{n+1}} {(n+1)!}

La formule que vous me proposez possède un rang de moins...

Posté par
alma78
re : DM démonstration exponentielle 17-01-21 à 18:00

Bonjour,

Il faut démontrer que P(n) vraie P(n+1) vraie.
P(n+1) correspond à fn+1(x) 0.
Je suggère que tu étudies la fonction fn+1(x) (dérivée et tableau de variation).
Tu devrais ainsi démontrer que la fonction fn+1(x) est positive en utilisant, à un moment donné, le fait que fn(x) est 0.

Posté par
alma78
re : DM démonstration exponentielle 17-01-21 à 18:05

Que vaut fn+1(x) ?
Que vaut fn+1'(x)  (dérivée de fn+1(x)) ?

Posté par
carpediem
re : DM démonstration exponentielle 17-01-21 à 18:11

Noctyle @ 17-01-2021 à 17:27

Il faut montrer par récurrence ceci :

e^x \geq \frac{x^{n+1}} {(n+1)!}

La formule que vous me proposez possède un rang de moins...

n = n + 1 - 1 = n - 1 + 1

crois-u que cela change quelque chose quand on veut la démontrer pour tout n ?

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : DM démonstration exponentielle 17-01-21 à 19:15

Bonjour à tous,
@Noctyle,
Répondre aux questions de alma78 à 18h05 devrait t'aider

Posté par
Noctyle
re : DM démonstration exponentielle 18-01-21 à 09:59

Bonjour.
Voici ce que j'obtiens au rang (n+1) :

f_{n+1}(x)=e^x-\frac{x^{n+2}}{(n+2)!}
Et en dérivant :

[tex]f'_{n+1}(x)=\frac{(e^x(n+2)!-(n+2)x^{n+1})(n+2)!}{((n+2)!)^2}
[/tex]

Mais ce qu'il me manque reste de trouver le lien qui me permet de passer du rang n au rang n+1...

Merci de vos aides

Posté par
alma78
re : DM démonstration exponentielle 18-01-21 à 10:34

Bonjour,

carpediem @ 17-01-2021 à 15:14

considère la fonction   f_n(x) = e^x - \dfrac {x^n} {n!} $ avec $ x \in [0, +\infty[

Regarde bien comment est définie fn(x) et tu comprendras que ton fn+1(x) est faux.
Recommence s'il te plaît.

De plus la dérivée que tu proposes est fausse. On dérive par rapport à x !

Posté par
Noctyle
re : DM démonstration exponentielle 18-01-21 à 11:00

Je viens de voir mes erreurs ;

f_{n+1}(x)=e^x-\frac{x^n+1}{(n+1)!}

Et du coup :

f'_{n+1}(x)=e^x-(n+1)x^n

N'y a-t-il pas besoin de montrer comment on fait pour passer du rang n au rang n+1 ?

Posté par
alma78
re : DM démonstration exponentielle 18-01-21 à 11:30

Attention, tu as écrit xn+1. Il faut écrire xn+1. Ce n'est pas du tout pareil.
Ta dérivée est fausse. Il manque (n+1)! sous (n+1)xn.

Posté par
Noctyle
re : DM démonstration exponentielle 18-01-21 à 11:32

Oui, c'est juste que j'avais oublié les {} donc il n'a pas pris en compte toute la puissance.

Posté par
Noctyle
re : DM démonstration exponentielle 18-01-21 à 11:39

Et la dérivée :

f'(x)=e^x-\frac{(n+1)x^n}{(n+1)!}=e^x-\frac{x^n}{n!}

Posté par
alma78
re : DM démonstration exponentielle 18-01-21 à 11:41

Peux tu réécrire proprement fn+1(x) et sa dérivée avant de continuer ?

Posté par
Noctyle
re : DM démonstration exponentielle 18-01-21 à 11:50

Oui, tout à fait.

f_{n+1}(x) = e^x-\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}
Et donc :

f'_{n+1}(x)=e^x-\frac{x^n}{n!}

Posté par
alma78
re : DM démonstration exponentielle 18-01-21 à 12:02

Parfait.
Maintenant si tu étudies la fonction fn+1(x) sur [0; +], qu'obtiens-tu ?
Tu vas te servir de sa dérivée et du fait que P(n) est vraie.

Posté par
Noctyle
re : DM démonstration exponentielle 18-01-21 à 13:34

Comme on suppose ici que P(n) est vraie, on a :

e^x-\frac{x^n}{n!} > 0 \Leftrightarrow f'_{n+1}(x)>0

Et donc la dérivée de f_{n+1} est strictement positive sur [0;+inf[.

Donc la fonction f est croissante strictement sur ce même intervalle.

De plus : f(0)= e^0-\frac{0^n}{n!}=1-0=1

Donc f(x) > 0 pour tout entier n et pour tout réel x positif ou nul.
C'est-à-dire, plus proprement :

Pour tout entier naturel n, et pour tout réel x≥0 :
f_{n+1}(x)>0 \Leftrightarrow e^x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)!} > 0

Donc P(n+1) est vraie si P(n) est vraie.

Ce raisonnement tient-il la route ? Si oui, mon exercice est solvé.

Posté par
alma78
re : DM démonstration exponentielle 18-01-21 à 14:01

Ton raisonnement est le bon. Mais attention, tu parles de f ; ça n'existe pas, il s'agit ici de fn+1. Donc f(0) non, fn+1(0), oui. Et f(x), non, fn+1(x), oui !
D'autre part, ce n'est pas > 0 mais 0.
Rappel : l'énoncé dit e^x ≥ (x^(n+1))/(n+1)!  C'est à dire supérieur ou égal

Posté par
Noctyle
re : DM démonstration exponentielle 18-01-21 à 14:29

D'accord, merci beaucoup pour votre aide !

Mais juste pour savoir, est-ce que cette démonstration a une quelconque utilité dans le monde mathématiques ou était-ce juste un exercice lambda?

Posté par
Camélia Correcteur
re : DM démonstration exponentielle 18-01-21 à 14:47

Non, ce n'est pas un exercice quelconque! C'est le début de l'étude du développement en série de l'exponentielle!



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