Bonjour. Voici le but d'un exercice que j'ai à faire pour prochainement :
"Montrer par récurrence que, pour entier naturel n, et pour tout réel x ≥ 0, on a la propriété suivante :
e^x ≥ (x^(n+1))/(n+1)!
Je ne m'en sort pas au niveau de l'hérédité...
Bonjour,
Tout d'abord merci de votre réponse.
Ensuite, je ne comprends pas pourquoi x serait inférieur ou égal à (n+1) car x≠n.
J'ai bien fait l'initialisation, c'est au niveau de l'hérédité que cela bloque.
Bonjour,
Il faut démontrer que P(n) vraie P(n+1) vraie.
P(n+1) correspond à fn+1(x) 0.
Je suggère que tu étudies la fonction fn+1(x) (dérivée et tableau de variation).
Tu devrais ainsi démontrer que la fonction fn+1(x) est positive en utilisant, à un moment donné, le fait que fn(x) est 0.
Bonjour.
Voici ce que j'obtiens au rang (n+1) :
Et en dérivant :
[/tex]
Mais ce qu'il me manque reste de trouver le lien qui me permet de passer du rang n au rang n+1...
Merci de vos aides
Bonjour,
Je viens de voir mes erreurs ;
Et du coup :
N'y a-t-il pas besoin de montrer comment on fait pour passer du rang n au rang n+1 ?
Attention, tu as écrit xn+1. Il faut écrire xn+1. Ce n'est pas du tout pareil.
Ta dérivée est fausse. Il manque (n+1)! sous (n+1)xn.
Parfait.
Maintenant si tu étudies la fonction fn+1(x) sur [0; +], qu'obtiens-tu ?
Tu vas te servir de sa dérivée et du fait que P(n) est vraie.
Comme on suppose ici que P(n) est vraie, on a :
Et donc la dérivée de est strictement positive sur [0;+inf[.
Donc la fonction f est croissante strictement sur ce même intervalle.
De plus :
Donc f(x) > 0 pour tout entier n et pour tout réel x positif ou nul.
C'est-à-dire, plus proprement :
Pour tout entier naturel n, et pour tout réel x≥0 :
Donc P(n+1) est vraie si P(n) est vraie.
Ce raisonnement tient-il la route ? Si oui, mon exercice est solvé.
Ton raisonnement est le bon. Mais attention, tu parles de f ; ça n'existe pas, il s'agit ici de fn+1. Donc f(0) non, fn+1(0), oui. Et f(x), non, fn+1(x), oui !
D'autre part, ce n'est pas > 0 mais 0.
Rappel : l'énoncé dit e^x ≥ (x^(n+1))/(n+1)! C'est à dire supérieur ou égal
D'accord, merci beaucoup pour votre aide !
Mais juste pour savoir, est-ce que cette démonstration a une quelconque utilité dans le monde mathématiques ou était-ce juste un exercice lambda?
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