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DM Dérivation
Bonjour, je suis bloquée à la fin de mon DM
Soit n
* et fn la fonction définie sur 
par :
fn(x) = xn
On rappelle la définition suivante :
soit f une fonction définie sur l'intervalle I.
On dit que f est dérivable sur I lorsque pour tout réel x de I, l'accroissement moyen
f(x+h)-f(x)/h admet une limite finie lorsque h tend vers 0. Cette limite est alors appelée nombre dérivé de f en x et notée f'(x).
Question :
On considère la propriété P définie pour n *, par :
P(n) : fn est dérivable sur et pour tout réel x on a : f'n(x) = nxn-1
a. Démontrer que la propriété P est héréditaire.
b. La propriété P est-elle initialisée?
c. Conclure.
Où j'en suis
Donc moi je suis partie dans un mauvais chemin par rapport à la question je pense bien qu'il ne soit pas faux.
Je commence par écrire (x+h)n-xn/h
Ensuite là, je me retrouve avec une identité remarquable de la forme (a+b)n, j'ai bien évidemment cherché sur internet et trouvé la formule du binôme de Newton (inconnue car je suis en Ts).
Je me retrouve avec cette formule : (voir image attachée)
Que je ne comprends pas...
Et en plus de ça je ne fais aucune récurrence donc ça ne colle pas avec mes questions.
Merci de bien vouloir m'aider.
Bonjour, n'oublie pas les parenthèses 
( (x+h)n-xn)/h
ici on te demande un raisonnement par récurrence, ton hypothèse est que ( (x+h)n-xn)/h tend vers nxn-1 et tu dois démontrer que c'est encore vrai pour n+1 donc que ( (x+h)n+1-xn+1)/h tend vers (n+1)xn
donc pars de ( (x+h)n+1-xn+1)/h et écris le (x+h) [(x+h)n-xn]/h + xn et trouve sa limite.
Je ne vois pas comment vous obtenez cette nouvelle formule
donc pars de ( (x+h)n+1-xn+1)/h et écris le (x+h) [(x+h)n-xn]/h + xn et trouve sa limite.
Je ne vois pas comment vous obtenez cette nouvelle formule. Désolée...
redéveloppe le membre de droite, tu verras tout de suite que l'on retombe bien sur le membre de gauche.
Par contre il a fallu avoir l'idée d'écrire ça ! l'idée c'est de s'appuyer sur l'hypothèse et donc de faire apparaître à tout prix [(x+h)n-xn]/h
ça donne l'intuition d'écrire (x+h) [(x+h)n-xn]/h et là on, regarde, ça redonne bien un (x+h)n+1/h et un - xn+1/h mais par contre ça crée un h (-xn]/h) = -xn qu'on a pas, donc on ajoute un + xn pour que l'égalité reste juste.
Oui mais pour trouver la limite on m'a dit que j'avais pas le droit de me servir de ce que je veux démontrer à savoir nxn-1
Dans un raisonnement par récurrence, on a le droit de se servir de son hypothèse de récurrence à savoir que [(x+h)n-xn]/h tend vers nxn-1 quand h tend vers 0.
C'est le principe de la récurrence, on vérifie que l'hypothèse est juste pour n=1, on suppose qu'elle l'est pour n et on démontre que c'est encore vrai pour n+1. On en déduit alors que c'est vrai pour tout n.
C'est logique, si c'est vrai pour 1, c'est vrai pour 2 (si on a démontré que si elle l'est pour n , elle est encore vrai pour n+1, donc si elle est vraie pour 1, elle est vraie pour 2), puis pour 3, etc ...
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