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DM dérivation
Bonjour, j'aurai besoin d'un peu d'aide pour un exercice:
Soit a un réel strictement positif et f une fonction dérivable sur [0;a] telle que:
-la dérivée f' de f est continue sur [0;a];
-f(0)=f'(0)=0
-f(a) x f'(a) <0.
f s'annule-t-elle au moins une fois sur ]0;a[ ?
Merci 
Bonjour, un petit dessin pour comprendre un peu ce qui se passe :
on sait que f(0)=0 et que f'(0)=0 donc la fonction part de 0 horizontalement.
Ensuite on nous dit que f(a) f'(a) < 0 donc
soit f(a) est négatif et la dérivée est alors positive
soit f(a) est positif et la dérivée est alors négative
on fait donc figurer les deux cas sur le dessin.
Et il reste à se demander comment raccorder les deux bouts et si on est alors obligé de couper l'axe des x ou pas.
Bonjour, un petit dessin pour comprendre un peu ce qui se passe :
on sait que f(0)=0 et que f'(0)=0 donc la fonction part de 0 horizontalement.
Ensuite on nous dit que f(a) f'(a) < 0 donc
soit f(a) est négatif et la dérivée est alors positive
soit f(a) est positif et la dérivée est alors négative
on fait donc figurer les deux cas sur le dessin.
Et il reste à se demander comment raccorder les deux bouts et si on est alors obligé de couper l'axe des x ou pas.
Ah oui j'arrive à mieux visualiser merci
Mais du coup pouvez vous me dire les étapes à procéder ? Parce que je ne vois pas comment on peut résoudre le problème....
non.
en supposant f(a) >0, je suis arrivé à en dessiner une qui satisfait les hypothèses et qui ne coupe pas ox donc la réponse à la question "f s'annule-t-elle au moins une fois" est "non pas forcement". il suffit par exemple de fournir un contre exemple.
Pour en trouver une, suppose a donné et cherche une fonction de degré 3 qui respecte les conditions. (moi j'ai trouvé que f(x) = -x^3+5ax²/4 marchait par exemple)
non.
en supposant f(a) >0, je suis arrivé à en dessiner une qui satisfait les hypothèses et qui ne coupe pas ox donc la réponse à la question "f s'annule-t-elle au moins une fois" est "non pas forcement". il suffit par exemple de fournir un contre exemple.
Pour en trouver une, suppose a donné et cherche une fonction de degré 3 qui respecte les conditions. (moi j'ai trouvé que f(x) = -x^3+5ax²/4 marchait par exemple)
En fait j'ai fait deux cas f'(a)>0 donc f(a)< 0 et f'(a)<0 avec f(a)>0 mais j'ai trouvé que oui elle s'animait.... puisque f(0)=0 donc si f'<0 alors la courbe est décroissante mais f>0 donc comme c'est continue elle passe forcément par 0 et même raisonnement pour le deuxième cas
Du coup c'est faux ce que j'ai fait ?
non.
en supposant f(a) >0, je suis arrivé à en dessiner une qui satisfait les hypothèses et qui ne coupe pas ox donc la réponse à la question "f s'annule-t-elle au moins une fois" est "non pas forcement". il suffit par exemple de fournir un contre exemple.
Pour en trouver une, suppose a donné et cherche une fonction de degré 3 qui respecte les conditions. (moi j'ai trouvé que f(x) = -x^3+5ax²/4 marchait par exemple)
Je suis vraiment désolé je me suis trompé dans la consigne c'est « f' s'annule-t-elle au moins une fois »
Bonjour,
La dérivée f' est continue sur [0;a] ; si elle ne s'annule pas sur ]0;a[, elle y aura un signe constant.
Deux cas :
1) f'(x) > 0 sur ]0;a[
2) f'(x) < 0 sur ]0;a[
1) f serait alors strictement croissante sur [0;a].
f(a) > f(0) ; donc f(a) > 0.
Or f(a) 
f'(a) <0. Donc on aurait f'(a) < 0.
Difficile avec f'(x) > 0 sur ]0;a[ et continue sur [0;a].
2) Même genre.
Une remarque : la donnée f'(0) = 0 n'est pas utilisée 
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