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DM Dérivation et applications
Bonsoir,
J'ai un DM à rendre pour Lundi et j'aurais besoin d'aide pour le terminer.
Voici le sujet:
On a modélisé l'évolution d'une épidémie de grippe de la façon suivante: si t est le temps ( en jours ) écoulé depuis le début de l'épidémie, le nombre de cas en milliers est donné par f(t)= - 1/6t au cube + 5/2t² + 28t.
1) Combien de malades compte-t-on au bout de 5 jours ? au bout de 20 jours ?
J'ai fait:
f(5)= - 1/6 X 5 au cube + 5/2 X 5² + 28 X 5 = 182 milliers de malades.
f(20)= - 1/6 X 20 au cube + 5/2 X 20² + 28 X 20 = 227 milliers de malades.
2) Donne l'expression de la fonction dérivée de f.
J'ai fait:
f'(t)= -1/6 X 3t² + 5/2t + 28 X 1 = -1/2t² + 5t + 28.
3) On appelle vitesse instantanée d'évolution de la maladie au temps t le nombre dérivé de la fonction f en t. Détermine la vitesse instantanée d'évolution de la maladie au début de l'épidémie.
Là je n'ai pas trouvé car je ne comprends pas exactement la démarche à entreprendre.
4) Détermine la vitesse instantanée d'évolution de la maladie à l'instant t= 3 jours.
Là non plus je ne comprends pas.
5) Détermine le nombre de jours pour atteindre le pic de l'épidémie.
Là non plus.
6) Quelle est la vitesse instantanée d'évolution de la maladie au moment du pic ?
Là non plus.
Voilà, en espérant que vous pourrez m'aider, et merci d'avance.
Bonsoir,
3) On appelle vitesse instantanée d'évolution de la maladie au temps t le nombre dérivé de la fonction f en t. Détermine la vitesse instantanée d'évolution de la maladie au début de l'épidémie.
Que vaut f'(0)?
4) f'(3)=......
5) f'(t)= -1/2t² + 5t + 28.
montre que la fonction f' admet unmaximum pour une certaine valeur de t
autrement dit détermine pour quelle valeur de t la dérivée de f' s'annule ,soit tm cette valeur
6) détermine f'(tm)
Re-bonsoir,
Tout d'abord, merci pour votre aide.
3) f'(0) = - 1/2 X 0² + 5 X 0 + 28 = 28. Est-ce correct ?
4) f'(3) = - 1/2 X 3² + 5 X 3 + 28 = 77/2 = 38,5 et on arrondit à 39. Est-ce correct ?
5) f'(t) = -1/2t² + 5t + 28.
f'(t) = -1/2 (t²-10-56) = -1/2 (t² - 66) = -1/2 (t - racine carrée de 66) (t + racine carrée de 66).
Donc la dérivée s'annule pour: t = -66 ou pour t = 66.
Après, j'ai fait un tableau de signe et je trouve qua la dérivée est positive sur - infini; - racine de 66 et sur racine de 66; + infini, mais négative sur - racine de 66; racine de 66.
Malgré tout, je ne pense pas que ce raisonnement soit juste.
Pourriez-vous m'aider de nouveau, s'il vous plaît ?
5) f'(t)= -1/2t² + 5t + 28.
montre que la fonction f' admet unmaximum pour une certaine valeur de t
autrement dit détermine pour quelle valeur de t la dérivée de f' s'annule ,soit tm cette valeur
tu n'as pas déterminé la dérivée de f'
Bonjour,
cela veut-il dire que je dois continuer mon raisonnement à partir de là où je l'ai laissé, c'est-à-dire, au tableau de signe ?
cela veut-il dire que je dois continuer mon raisonnement à partir de là où je l'ai laissé, c'est-à-dire, au tableau de signe ?
non
f'(t) = -1/2 (t²-10-56) = -1/2 (t² - 66) = -1/2 (t - racine carrée de 66) (t + racine carrée de 66).
Donc la dérivée s'annule pour: t = -66 ou pour t = 66.
c'est faux et de plus on ne cherche pas les valeurs de t qui annulent cette fonction f' on cherche la dérivée de f' c'est à dire f"
f'(t)= -1/2t² + 5t + 28.
détermine la dérivée de cette fonction
f"(t)=................
si cette dérivée f" s'annule en changeant de signes alors la fonction f' admet un extermum.
Re-bonjour,
f"(t) = 2 X (- 1/2t) + 5 X 1 + 0.
f"(t) = - t + 5.
(t - 5) (t + 5) = t² + 5t - 5t - 25 = t² - 25 = t - 5.
Or: - t + 5 + t - 5 = 0.
Donc: puisque la dérivée f" s'annule en changeant de signe, alors la fonction f' admet un extremum.
Est-ce correct ?
Re-bonjour,
Je ne comprends pas ce que je dois faire par la suite.
Comment puis-je trouver le nombre de jours pour atteindre le pic de l'épidémie ?
Dois-je faire un tableau de signes ?
Re-bonjour,
Je ne comprends pas ce que je dois faire par la suite.
Comment puis-je trouver le nombre de jours pour atteindre le pic de l'épidémie ?
Dois-je faire un tableau de signes ?
Re-bonjour,
5) f"(t) = 2 X (- 1/2t) + 5 X 1 + 0.
f"(t) = - t + 5.
(t - 5) (t + 5) = t² + 5t - 5t - 25 = t² - 25 = t - 5.
Or: - t + 5 + t - 5 = 0.
Donc: puisque la dérivée f" s'annule en changeant de signe, alors la fonction f' admet un extremum.
Est-ce correct ?
Je ne comprends pas ce que je dois faire par la suite.
Comment puis-je trouver le nombre de jours pour atteindre le pic de l'épidémie ?
Dois-je faire un tableau de signes ?
Bonsoir,
Pourriez-vous m'aider s'il vous-plaît ? Je n'arrive pas à finir la question 5) et à faire la 6).
f"(t) = - t + 5. OK
ensuite signe de f"
-t+5=0 si t=5
-t+5≥0 si t≤5
-t+5≤0 si t≥5
==>
f' est croissante sur [0;5] puis décroissante sur [5;+∞[ , donc elle admet un maximum pour t=5
au bout de 5 jours , le pic de l'épidémie est atteint
6)
vitesse instantanée f'(t)= -1/2t² + 5t + 28. 2
il faut calculer f('5)=-25/2+5*5+28=40,5
remarque je ne comprends pas tes calculs., lors de tes precédents posts
f'(t) = -1/2 (t²-10-56) = -1/2 (t² - 66) = -1/2 (t - racine carrée de 66) (t + racine carrée de 66).
Donc la dérivée s'annule pour: t = -66 ou pour t = 66. ????
que calcules-tu ??
(t - 5) (t + 5) = t² + 5t - 5t - 25 = t² - 25 = t - 5.
Or: - t + 5 + t - 5 = 0.
Re-bonsoir,
f'(t) = -1/2 (t²-10-56) = -1/2 (t² - 66) = -1/2 (t - racine carrée de 66) (t + racine carrée de 66).
Donc la dérivée s'annule pour: t = -66 ou pour t = 66.
Je voulais déterminer pour quelles valeurs la dérivée s'annulait mais c'était faux car je n'avais pas fait la bonne démonstration, il fallait que je calcule la dérivée f".
(t - 5) (t + 5) = t² + 5t - 5t - 25 = t² - 25 = t - 5.
Or: - t + 5 + t - 5 = 0.
Là, je voulais corriger le calcul du-dessus afin de prouver que la dérivée s'annulait en changeant de signe, mais j'avais faux.
Je voulais démontrer ça:
-t+5=0 si t=5
-t+5≥0 si t≤5
-t+5≤0 si t≥5
==>
f' est croissante sur [0;5] puis décroissante sur [5;+∞[ , donc elle admet un maximum pour t=5
au bout de 5 jours , le pic de l'épidémie est atteint.
Mais je n'ai pas su faire.
Merci pour votre aide.
il faut que tu te rappelles pour savoir si une fonction admet un maximum ou un minimum il faut étudier le signe de la dérivée et les valeurs que annulent la dérivée :
la dérivée f' s'annule en changeant de signe, alors la fonction f admet un extremum.
Re-bonsoir,
Donc, pour savoir si une fonction admet un extremum, il faut tout d'abord définir la dérivée f' puis il faut trouver f" pour connaître les valeurs pour lesquelles s'annulent la dérivée f', et si f' s'annule, alors f admet un extremum.
Est-ce bien cela ?
Donc, pour savoir si une fonction f admet un extremum, il faut tout d'abord définir la dérivée f' , trouver les valeurs qui annulent f' ,et si f' s'annule en changeant de signe , alors f admet un extremum.
si on ne peut pas trouver directement les valeurs qui annulent f' alors on dérive f' pour étudier la fonction f
OK?
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