Bonsoir à tous,
J'ai un devoir maison sur les dérivations à rendre pour mercredi et je suis bloqué sur certains points et pas sure de moi sur le reste. Un petit coup de pouce serait le bienvenue

*Enoncé: Dans un repère orthonormé (O;I,J), on considère le demi-cercle de rayon 1 et d'équation y=racine(1-x²) avec -1=<x=<1. Soit M un point de ce demi-cercle et H le projeté orthogonal de M sur la droite (OI).
On se propose de déterminer l'aire maximale du triangle HMI.

Questions: 1.a. A l'aide d'un logiciel de géométrie, construire l'arc de cercle, les points I,M et H et enfin le triangle HMI.

b. Déplacer le point M et faire une conjecture sur l'are maximale du triangle HMI.

2.On note x l'abscisse du point M.
a. Montrer que IH= 1-x

b. Exprimer l'aire du triangle HMI en fonction de x.

c. Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]-1;1[ par :
      
                                           f(x) = 1/2*(1-x)*racine(1-x²)
Démontrer que, pour tout réel x de ]-1;1[:
    
                                            f'(x) = (2x²-x-1)/(2*racine(1-x²))

d. Etudier le signe de f'(x) sur ]-1;1[.

e. En déduire quelle est l'aire maximale du triangle HMI, et pour quelle position de M elle est atteinte.

Réponses: 1.a. Facile, mais je n'arrive pas à exporter le dessin : Il s'agit donc d'un triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle avec un point I fixe et de 2 points M et H variables.

b. Le point M devrait etre a 2/3π du cercle pour que l'aire soit maximale.

2.a. IH=1-x car 1 est le rayon du cercle , et donc la longueur OI, et x est l'abscisse de M , soit IH= rayon-xm.

b. L'aire d'un triangle rectangle étant b*h/2 :
        IH*HM/2   =  (1-x)*racine(1-x²)/2

c. La je bloque, je sais que la dérivé de racine de u est égal a u'/2*racine(u), mais je n'arrive qu'a obtenir le même dénominateur , je n'arrive pas a obtenir le numérateur

d. C'est pareil pour le signe, le dénominateur sera forcément positif car x est compris entre ]-1;1[ , mais le numérateur est forcément négatif pour la meme raison, du coup je n'arrive pas à faire mon tableau de variations.

e. Et pour ce point, il me faudra les réponses précédente

Merci d'avance