Bonjour, j'ai un DM de mathématiques et j'ai fini la première page (qui a deux exercices), mais le 2ème est très difficile à comprendre. Voici le troisième exercice ci-dessous.


Exercice 2: Les abeilles sont des mathématiciennes.
Les alvéoles des ruches d'abeilles ont une ouverture hexagonale. Quelle intérêt cette structure présente t elle ?
Il s'agit de réaliser un pavage du plan par des polygones en les juxtaposant sans chevauchement.
Les alvéoles étant toutes identiques et possédant des propriétés de symétrie, étudions comment paver le plan par des polygones réguliers
tous identiques.
1) Citer des polygones réguliers que vous connaissez. On considère un polygone régulier à n cotés avec n3 .
2) a) Exprimer l'angle α en fonction de n (la figure ci contre est un exemple pour le cas n=7 )
b) En déduire que 2β=180°− 360°sur n
FIGURE 1




3) On veut assembler k polygones réguliers à n cotés, tous identiques, en S
voir figure ci dessous faite pour k=3 c'est à dire que l'on a assembler 3 polygones.
a)Que doit valoir k×2β ?
b)En déduire que k=2n sur n−2
4) a) Déterminer les valeurs de k pour n=3 , n=4 , n=5 , n=6 et n=7
b) Est il possible de pave le plan avec ces polygones pour chacune des valeurs de n ?
c) Démontrer que pour tout n3 , on a k=2+ (4 sur n−2)
d)En déduire que pour n7 on a k <3
e) Quels sont les polygones réguliers avec lesquels on peut paver le plan ?
5) Soit P le périmètre d'un polygone régulier et A sont aire.
Pour la carré on sait que P=4 √A
• On admet que pour le triangle équilatéral on a P≈4,6√A
• On admet que pour l'hexagone régulier on a P≈3,8√A
a) Pour une aire donnée, quel est celui de ces polygones qui a le plus petit périmètre ?
b) Quel est le pavage du plan qui permet à l'abeille de faire des économies de cire autour des alvéoles ?




J'ai aucune idee comment faire ce ex!!