Inscription / Connexion Nouveau Sujet
DM Divisibilité (TS Spé)
Bonsoir,
je suis actuellement en terminale S, spécialité Maths.
Voici le devoir maison que je dois rendre pour vendredi :
"Démontrer que pour tout entier naturel n, 5^(2n)- 4^n est divisible par 7."
Pourriez-vous m'aider à faire ce devoir ?
Je vous remercie d'avance,
bonne soirée,
Manon
Bonjour,
Une méthode
trouver les restes de la division de 52n par 7 pour les premiers n
trouver les restes de la division de 4n par 7 pour les premiers n
Regarder s'il y a ou pas un cycle et conclure
Bonjour,
autre méthode :
52n = (52)n = 25n
et utiliser l'identité
An - Bn = (A - B)(An-1 + An-2B + ... + Bn-1)
(en terminale spé math cette identité est peut être connue, elle le devrait vu qu'elle est bien pratique et très souvent utilisée !!)
salut
j'ajoute celle avec les congruences
5² = 25 = 4(7) alors (5²)^n = 4^n[7]
4=4[7] alors 4^n = 4^n[7].
5^2n - 4^n = 0[7] donc 7 divise 5^2n - 4^n
Bonsoir tout le monde,
alors tout d'abord je souhaite remercier chacun d'entre vous pour votre précieuse aide.
En effet, vous m'avez laissé le choix, j'ai alors opté pour la méthode par récurrence car nous n'avons pas encore vu les autres méthodes.
Or dans l'hérédité il se trouve que je suis bloquée à cet endroit : 25(7k+4^p)- 4^p+1 (j'ai ensuite développé 4^p+1 mais je ne suis pas sûre de moi), en tout cas même après développement je n'arrive pas à conclure, je ne sais pas comment prouver que 7 divise 5^2(p+1)-4^p+1.
Quelqu'un a une idée ?
Encore merci à tous !
Manon
salut
et on conclut par récurrence ...
c'est quasiment tout écrit (c'est seulement maintenant qu'on fait intervenir que :
"or par hypothèse de récurrence
Je ne crois pas faire de la même façon que vous mathafou,
vos "." représentent des multiplications ?
Je crois que ce qui me gène dans vos calculs est que le "7k" n'apparaît pas or notre prof. fait comme cela.
Mais je vous remercie !
oui. (c'est ceux de carpediem d'ailleurs)
un raisonnement par récurrence a toujours été :
initialisation , on vérifie que P(1) est vraie
hérédité :
on énonce l'hypothèse de récurrence Pn
ici on écrit : " est un multiple de 7"
(et c'est tout ce qu'on écrit d'ailleurs)
On écrit l'expression de Pn+1 (sans savoir si c'est vrai ou pas, c'est juste la définition de l'expression)
"calculons
pour l'instant on ne sait pas du tout combien ça fait ni si c'est un multiple de 7 ou pas
on veut juste le calculer
et ce "en fonction de Pn", en fonction de
25^n - 4^n
c'est ce que fait le calcul de carpediem
et maintenant on remplace ce Pn par son "expression"
"or par hypothèse 25^n - 4^n est un multiple de 7"
(et 21 est trivialement un multiple de 7 !)
donc cette expression que je viens de calculer est un multiple de 7 (A fois un multiple de 7, plus B fois un multiple de 7, donne un multiple de 7 quel que soit A et B)
c'est à dire 5^{2(n+1)} - 4^{n+1} est donc un multiple de 7, ce qui assure l'hérédité et achève la démonstration
on peut aussi faire ça dans l'autre sens.
mais c'est généralement bien plus dur de bidouiller quelque chose dans ce sens là que dans celui montré par Carpediem.
parce qu'il y faut énormément d'imagination pour "inventer" les transformations de Pn aboutissant à Pn+1 :
hypothése de récurrence :
(et on n'écrit surtout pas "= 7k" parce qu'on va perdre définitivement l'écriture des exposants et on va en avoir besoin de cette écriture des exposants)
en multipliant par 25 j'en déduis que :
en ajoutant le multiple de 7 :
donc
en développant et simplifiant cette expression j'obtiens donc :
c'est à dire Pn+1 et l'hérédité et la fin de la démonstration
mais qui va être assez tordu pour imaginer cette chaine de déductions, imaginer qu'on va aboutir à la conclusion en multipliant arbitrairement par 25 et en ajoutant quelque chose d'aussi "inattendu" que
personne !!
donc tout le monde fait en général la démonstration à la première manière parce que c'est beaucoup plus facile de raisonner dans ce sens là que dans l'autre.
de la même façon que pour démontrer que x² - 3x + 2 = (x-1)(x-2), il est beaucoup plus simple de partir de (x-1)(x-2) et de développer
que de partir de x² - 3x + 2, de passer par le truc "surprenant" de la forme canonique (d'imaginer un double produit qui n'est pas visible) etc...
bon il y a quelques fautes de frappe que je n'avais pas vu (j'aurais du relire une fois de plus au moins)
une balise tex transformée en balise quote par ci une balise tex oubliée par là ... je vais pas le refaire.
si c'est le fait qu'écrire "est un multiple de 7" peut s'écrire "il existe un entier relatif k tel que c'est égal à 7k" (ce qui est en rouge étant obligatoire),
je préfère encore l'expression "en mots" que de mettre un "7k" qui va tout cacher sans espoir de récupération
mais tu peux toujours l'écrire "= 7k" si ça te chante, c'est exactement la même chose, mais ne pas oublier exactement "ce" qui est égal à 7k
ici le "= 7k" il est tout à la fin, pas pendant les calculs (sinon on perd tous les exposants et on ne peut rigoureusement rien calculer du tout)
hypothèse de récurrence si tu veux au lieu de "multiple de 7"
ensuite calculs totalement inchangés et sans aucun "7k" dedans of course puisqu'on part de l'écriture de Pn+1 et qu on ne sait rien du tout sur ce Pn+1, en particulier pas s'il est multiple de 7 ou pas..
et tout à la fin une fois qu'on a fait apparaitre
seulement maintenant on dit :
par hypothèse
donc je remplace :
et c'est fini
tout ça c'est du "style de rédaction"
on n'avait pas à rédiger à ta place, le raisonnement il était là. qu'on écrive "multiple de 7" ou un "7k"
Merci beaucoup mathafou pour votre explication, cela va bien m'aider !
Je comprends ce que vous voulez dire, j'appliquerai donc la première méthode et non la seconde qui effectivement s'avère compliquée, je comprends mieux pourquoi mon calcul n'aboutissait pas.
Je vous remercie, mathafou ainsi que les autres, pour votre aide et le temps consacré aux explications.
Bonne soirée à tous !
Annuler
connectez vous