Inscription / Connexion Nouveau Sujet
DM encadrement sin (x).
Bonjour j'ai un DM pour la rentrée et je n'arrive pas a répondre a quelques questions... Je sais que ce sujet a déja été posté mais je n'ai pas les meme difficulté que la personne. J'ai réussi a faire le début mais je bloque a la fin.
J'ai réussi le grand A et la question du B mais je bloque a partir de la question 2 du B...
Voici le sujet:
A- Encadrement de sinx pour x ]0;/2 [
Sur la figure ci-dessous:
M appartient au cercle trigonométrique, C et S sont les projetés orthogonaux du point M sur les axes, T est le point d'intersection de la droite (OM) et de la tangent Delta au cercle au point I.
1-Calculer la longueur IT en fonction de x.
IT= tanx
2-Calculer des aires A1 et A2 des triangles OIM et OIT, puis l'aire A du secteur de disque OIM.
A1= 1/2 * sin(x)
A2=1/2 * tan(x)
A= 1/2 * x
3- En remarquant que l'on a A1<A<A2 , montrer que, pour tout réel x de l'intervalle ]0;/2[ :
sinx x tanx
En déduire que pout tout x élement de ]0;/2[
xcosx x tanx (1)
B- Limite de sinx/x lorsque x tend vers 0
1- en utilisant (1) de la partie A, justifier que, pour tout x de l'intervalle ]0;
/2 [
cosxsinx/x1 (2)
2- Vérifier que la propriété (2) est encore vraie pour tout x de l'intervalle ]-/2;0[
J'ai remplacé x par une valeur qui apparient a l'intervalle négatif et je trouve que c'est toujours vrai. Est ce qu'on me demande?
3- Donner lim x 0 cosx
je bloque ici.
Comme sinx/x est coincé entre deux quantités qui ont pour limite 1 lorsque x tend vers 0 on dira que:
lim x 0 sinx/x = 1
On peut visualiser ces résultats en affichant les courbes d'équation y = cosx, y= sinx/x et y = 1 sur l'écran d'une calculatrice mise au préalable en MODE Rad et en utilisant ZOOM Ztrig
Voici la figure. Merci a tout ceux qui voudront bien me guidé.
Et voici la suite, je n'y arrive absolument pas! sa serait gentil de maider. merci.
C- Dérivées des fonctions trigonométriques
1- En utilisant le résultat du B, démontrer que la fonction sinus est dérivable en 0 et présiser la valeur de sin'(0)
2- Établir que pour tout réel non-nul h apparteant á [-/2 ; /2]
(1-cosh)/h2 = (sinh/h)2 1/(1+cosh)
En déduire que la fonction cosinus est dérivable en 0 et déterminer cos'(0)
3- On sait que pour tout réel a et b sin(a+b)= sina cosb + sinb cosa
En déduire que la fonction sinus est dérivable sur R et déterminer sa fonction dérivée.
4- Pour tout réel x: cosx = sin(x+/2)
démontrer que la fonctiopn cosinus est dérivable sur R et que pour tout réel x on a cos'(0)= -sinx
Oui dsl c pas clair du tout!
3- En remarquant que l'on a A1
AA2 , montrer que, pour tout réel x de l'intervalle ]0;/2[ :
sinx x tanx
En déduire que pout tout x élement de ]0;/2[
xcosx sinx x (1)
J'espère ke c mieux! merci
B- Limite de sinx/x lorsque x tend vers 0
1- en utilisant (1) de la partie A, justifier que, pour tout x de l'intervalle ]0;/2 [
cosxsinx/x1 (2)
La ossi y avé une erreur...
Le SMS est interdit sur ce forum. Dernier avertissement.
A.3. est simplissime : où en es-tu ?
B.1. également : où en es-tu ?
B.2. On ne te demande pas de vérifier que l'inégalité est vraie pour une valeur que tu choisis au hasard, mais pour tout x de ]-pi/2;0[. En fait, il suffit de faire une démonstration analogue pour un x négatif (sous l'axe des abscisses).
B.2. Non, tu dois refaire une figure avec un x négatif, et donc S, M et T sous l'axe des abscisses.
Puis tu déroules un raisonnement similaire à ci-dessus pour prouver le résultat.
ah! c'est bon j'ai trouvé. Et pour la B.3 est ce que je dois remplacé x dans cos(x) par 0? Je calcul et verrai il me semble que je dois trouvé 1.
Attention au français !
ah! c'est bon j'ai trouvé. Et pour la B.3 est ce que je dois remplacer x dans cos(x) par 0 ? Je calcule et verrai il me semble que je dois trouver 1.
La fonction cosinus est continue en 0. Donc
Dois je démontrer que la fonction cosinus est continue en 0? En faite j'ai essayé de remplacer x par 0 mais après je bloque dans mon calcul.
En remplaçant x par 0 je trouve a 1 moment :
(cos(0+h)-sin(0))/ h. J'ai transformé cos (0+h) avec la formule qui correspond et je bloque.
Je ne comprends pas ce que tu fais ? Tu tentes de répondre à quelle question ? Quel est son énoncé précis ?
OK! Je mets cela. Quand au C.1 je n'y arrive pas. Je sais que je dois calculé f'(x) mais je trouve cela compliqué...
f est dérivable en x0 si le taux d'accroissement entre x+h et x de la fonction admet une limite finie quand h tend vers 0.Est-ce cela?
f est dérivable en x0 si le taux d'accroissement entre 0+h et 0 de la fonction admet une limite finie quand h tend vers 0.Est-ce cela?
Dans l'énoncé il est dis que je dois reprendre le résultat de B pour démontrer la dérivabilité de sin(x) en 0. Je ne vois pas comment l'utiliser. De plus en calculant le taux d'accroissement je bloque, j'obtient :
(sin(0+h)-sin(0))\h
En faite j'ai remplacé sin(0+h) par sin(0)cos(h)+cos(0)sin(h). est-ce bon? Et en remplaçant sin(0) par 0 je trouve que le calcul est égal a 0.
Ah en faite en remplaçant et en simplifiant j'obtiens sin(h)/h. Ce qui est semblable à sin(x)/x? Il me semble...
Est-ce que pour montrer que la fonction sinus est dérivable en 0, montrer que la limite de sin(0) est semblable à l'expression de sinx est suffisant?
montrer que la limite de sin(0) est semblable à l'expression de sinx est suffisant?
C'est incompréhensible. Sin(0) est une constante : elle ne peut pas avoir de limite !
As-tu appris ton cours ? Pour montrer que sinus est dérivable en 0, il suffit de montrer que la limite quand h tend vers 0 de (sin(0+h)-sin(0))/h existe et est finie.
sin(h)/h est finie : c'est un nombre réel !
La vraie question est de savoir si est finie. C'est bien sûr le cas, puisque cette limite est égale à 1.
Ah oui, je me suis embrouillé l'esprit.. Pour le C.2 je n'arrive pas a prouver l'égalité, mais je peux quand même continuer mais je ne vois pas comment en déduire cos'(0).
Le seul moyen que je vois pour faire apparaitre sinus est de remplacé cos^2(h) par (1-cos(2h))/2 puis cos(2h) par cos^2 (h) -sin^2(h). Est ce cela?
OK.
Pour obtenir ce que tu souhaites, il suffit de remplacer 1-cos²h par sin²h.
Cela ne découle-t-il pas d'une formule du cours ?
Ah oui effectivement je n'avais pas fais attention. La somme du carré du sin et du cos est égale à 1. Première formule de trigonométrie que j'ai appris!!
Annuler
connectez vous