Bonjour,

J'ai cet exercice en DM à faire pour lundi sauf que je n'y arrive pas dès la première question =S

Partie A. Une équation différentielle
On considère l'équation différentielle (1):


1. Déterminer, en fonction de n, deux réels et tels que la fonction affine qui à associe soit solution de l'équation (1).

2. Résoudre l'équation différentielle (2):
.

3. Montrer qu'une fonction est solution de (1) si et seulement si la fonction qui à associe (x)=()-() est solution de (2).

4. En déduire toutes les solutions de (1).

5. Déterminer la solution de (1) qui prend la valeur 0 en 0.


Partie B. Etude d'une famille de fonctions
On considère sur la fonction par:
- exp.

On note la courbe représentant dans un repère orthogonal du plan.

On représente à la calculatrice les fonctions pour n{2;3;4} avec pour fenêtre graphique: -6x4, -1y0,3

1-Conjectures
D'après le graphique, que peut-on conjecturer pour:
-le sens de variation des fonctions ?
-les points d'intersection des courbes avec l'axe des abscisses ?

2-Etude de cas particuliers
a. Etudier le sens de variation de la fonction et sa limite en +
b. Faire même pour .

3-Etude générale
a. Déterminer la limite de en +.
b. Etudier le sens de variation de et dresser son tableau de variation.
c. Justifier que admet un maximum en un réel . Quelle est la limite de quand n tend vers + (on pourra poser ) ?

4-Intersection avec l'axe des abscisses
a. Justifier que la courbe coupe l'axe des abscisses en O et en un autre point .
On appellera l'abscisse de ce point.
b. De l'étude des variations sur ]1;+[ de la fonction qui à associe , déduire le signe de .
c. De l'étude des variations de la fonction qui à tout associe , déduire le signe de .
d. En déduire que pour tout n2 :
   .
e. En déduire que la suite converge et préciser sa limite.
f. Quels commentaires peut-on faire sur les conjectures graphiques faites à la partie A?

Voilà, je sais que c'est plutôt long, mais si quelqu'un pouvait m'aider, ça m'arrangerait bien

J'ai quelques idées pour des questions:
A-2: je trouve
A-4: il faut additionner la solution particulière et la générale.

B-1: sens de variation des positives jusqu'à -1 et négatives ensuite
points d'intersection: en 0 et ?
B-2a: exp
B-3a:
B-4a: , intersection en 0

Merci de votre aide !!