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DM Exercice exponentielle

Posté par
leolp
03-01-20 à 19:20

Bonjour à tous, je poste ce message pour solliciter votre aide au sujet d'un exercice qui me pose probleme.  Voici l'exo :

1. Une population de poissons d'une certaine espèce
évolue au cours des ans selon la loi:
f'(t) = 1/5 f(t)
ou f désigne la quantité de poissons
(exprimée en milliers) dépendant du temps t (exprimé
en années)
a. Montrer que les fonctions t --> ke^(t/5) où k est une
constante réelle, vérifient toutes la loi (1).
b.Réciproquement, démontrer que sif
alors il existe un réel k tel que, pour tout t>0, f(t) = ke^(t/5)
c. Sachant qu'à la date t 0, la population comprend
un milliers de poissons, donner une expression de f(t).
d. Montrer que cette espèce croit au fil du temps. Que
devient-elle à long terme ?

2. En réalité, un prédateur de cette espèce empeche
une telle croissance, tuant chaque année une certaine
quantité de poissons (dépendant de l'effectif total).
La quantité de poissons gt) (en milliers) en fonction
du temps t (en années) suit désormais la loi : (2)
gʻ(t) = g(t)/5 - g(t)2/15
a. On suppose que, pour tout réel t positif, g(t) ≠ 3
et on pose h(t) =
g(t)/
3-g(t)
Exprimer g en fonction de h, puis g' en fonction de h et de h.
Montrer alors que g suit la loi (2), si et seulement si,
h suit la loi (1)
b.Déduire de la question 1. toutes les fonctions g
verifiant la loi (2)
c. Démontrer que la fonction g vérifiant la loi (2) tele
que g(0) = 1 est définie par g(t) =
(3et/5)/(2 + et/5)

d.L'espèce croit-elle toujours ?
e. Vers quelle limite tend la population de poissons


J'ai reussi la premiere partie ainsi que la 2a mais les fonctions que je trouves a la 2b ne coincides pas avec la 2c, je suis vraiment bloqué.

Merci de votre aide et bonne année !

Posté par
Yzz
re : DM Exercice exponentielle 03-01-20 à 19:26

Salut,

C'est un peu pénible à lire...
Un copié/collé, ça s'arrange à postériori.
Tu as trouvé quoi à la 2a ?

Posté par
leolp
re : DM Exercice exponentielle 04-01-20 à 11:32

Excuse moi le site interdit les photos donc merci google lens
Pour la 2a j'ai trouvé que
g(t) = (3 * h(t))/(1+h(t))
g'(t) = (3h'(t))/(1+h(t))2

Et pour finir la démonstration avec ces deux définition fonctionne et h respecte bien la loi (1) cad f'(h) = 1/5 f(h)

Merci de ton aide !

Posté par
Yzz
re : DM Exercice exponentielle 04-01-20 à 12:00

OK
Et u as prouvé le 2b ?

Posté par
leolp
re : DM Exercice exponentielle 04-01-20 à 12:32

Et bien justement je trouve ça :
g(t) = (3ket/5)/(1+ket/5)
Mais ça ne correspond pas avec la 2c ...
C'est la où je bloque

Posté par
Yzz
re : DM Exercice exponentielle 04-01-20 à 12:37

h suit la loi 1 donc h(t) = ke^(t/5)  donc g(t) = (3ket/5)/(1+ket/5) : OK.

g(0) = 1 donc 3k/(1+k) = 1  donc 3k = 1+k  donc k = ?

Posté par
leolp
re : DM Exercice exponentielle 04-01-20 à 13:01

k = 1/2
A oui d'accord je comprends mieux... Après en multipliant par 2 le denominateur et le numérateur on tombe sur l'expression de la 2c ...

Merci infiniment !
(J'avais réussi la suite pour m'avancer)

Posté par
Yzz
re : DM Exercice exponentielle 04-01-20 à 13:04

De rien    

Posté par
hiti
re : DM Exercice exponentielle 10-01-22 à 07:25

Salut j'ai besoin d'aide sur le même sujet pour la 2a

Posté par
Yzz
re : DM Exercice exponentielle 11-01-22 à 16:47

Salut,

C'est donc h(t) =g(t)/(3-g(t) ) je suppose ?
Et tu proposes quoi ?



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