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DM exercice recurrence

Posté par
marybella
22-09-11 à 12:16

j'ai commence a faire la 1ere et 2eme etape de la demonstration par recurrence mais pour faire le calcul (n+1) je suis bloquee. Je vous remercie d'avance;


Pour un entier k superieur ou egal a 1, on note k ! ( ce qui se lit factorielle k) , le produit des k premiers entiers non nuls.
Montrer que, pour tout n superieur ou egal a 1 :
Somme ( je sais pas faire le symbole de somme , je mets les indications : ca commence par k=1 et se termine a n ) = ( n+1) ! - 1

Posté par
malou Webmaster
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 12:36

Bonjour marybella

tu as oublié de dire somme ....de quoi ???

Posté par
marybella
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 13:23

somme k x k!

je crois avoir fait une erreur pour les etapes : voila ce que jai fait ( j'ai pa tenu compte de la factorielle)
1ere etape : pour k = 1 et n=1
k x k! = 1 x 1 = 1   et
(n+1)! - 1 = 1+1 -1= 1
2 e etape : on suppose que k x k! = (n+1)! - 1


c'est comme ca qu'on doit faire ?? le point d'exlamation  change quelque chose a la demarche?

merci

Posté par
marybella
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 13:25

somme k x k!= (n+1)! -1

Posté par
malou Webmaster
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 13:31

"j'ai pa tenu compte de la factorielle"...oui, ça c'est vraiment embêtant...donc à revoir
je te corrige ton étape 1

1ere etape : pour k = 1 et n=1
k x k! = 1 x 1! = 1x1=1 et
(n+1)! - 1 = (1+1)! -1= 2! - 1 = 2 - 1 = 1

essaie de comprendre, et ensuite tu feras l'hérédité !

Posté par
marybella
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 13:55

ok pour la 1ere etape : pour k=n=1 la formule est vraie

ensuite pour l'heredite j'essaye de commencer et puis je bloque , je sais pas comment utiliser la factorielle...voila:

(k+1) x ( k+ 1)! = ????

comment on va pouvoir utiliser la premiere etape pour faire l'heredite ?

Posté par
malou Webmaster
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 13:59

alors : avant, si tu ne l'as pas démontré en classe, ce serait bien que tu démontres que k!(k+1) = (k+1)!

pour cela, utilise la def de la factotielle
vas y, après on fera l'hérédité !

Posté par
marybella
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 14:41

Si je n'arrive pas a faire l'exercice c'est parceque je sais pas ce que c'est la factorielle. On doit utiliser la recurrence , chose qu'on a appris, mais comme il y a le " le point d'exclamation" , je suis completement perdue. Pouvez vous svp m'aider? merci

Posté par
malou Webmaster
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 14:46

OK

par def 0! = 1
puis 1! = 1
puis 2! = 1x2 = 2
puis 3! = 1x2x3 = 6

k! est égal au produit de tous les entiers non nuls qui le précèdent

k! = 1x2x3x......(k-1)(k)

ça va ?

avec ça, il va être facile de faire la dem que je t'ai demandée à 13h59

vas y !

Posté par
marybella
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 15:13

voila ou jen suis:

somme ( indication: n+1 en haut et k=1 en bas) k x k! = ( somme (indication: n en haut et k=1 en bas) ) + ( k+1) x ( k+1)!
                                                      = ( n+1) ! -1     +  ( k+1 ) ( k+1)!


et la pour calculer je sais vraiment pas , j'ai compris votre explication mais pour l'appliquer ici , jai du mal.

Posté par
marybella
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 15:17

apres le premier signe egal il ya:  somme k x k! + (k+1) (k+1)!
javais oublie de mettre k x k! encore une fois

Posté par
malou Webmaster
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 15:24

si tu veux bien, on va abandonner le signe somme, ce sera plus clair...

tu veux démontrer donc que
1.1! + 2.2! + 3.3!+.......+n.n!=(n+1)!-1 (P)

tu as donc démontré que (P) est vraie au rang 1

supposons (P) vraie au rang n, càd
1.1! + 2.2! + 3.3!+.......+n.n!=(n+1)!-1 vraie
alors
je veux montrer qu'alors elle est vraie au rang (n+1) càd...
je commence à écrire la relation au rang (n+1), et je vais essayer de démontrer

1.1! + 2.2! + 3.3!+.......+n.n!+(n+1)(n+1)! = [(n+1)!-1] + (n+1)(n+1)!
= j'enlève les crochets
= (n+1)!-1 + (n+1)(n+1)!
= je déplace
= (n+1)!+ (n+1)(n+1)! -1
= je mets en facteur
= (n+1)![1 + (n+1)] -1
= je développe dans le crochet
= (n+1)![1 + n+1] -1
= (n+1)!(n+2) - 1
= avec la remarque de 13h59
= (n+2)! - 1

eh bien ça, c'est exactement la propriété (P) écrite au rang suivant...
donc j'ai montré l'hérédité...

essaie de le refaire en l'écrivant, et dis moi si tu as des questions
à toi !

Posté par
marybella
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 15:44

j'ai compris toute la demarche mais jai un petit souci avec l'avant derniere et la derniere egalite , je vois pas comment on est passer de
(n+1)! ( n+2) -1
a
(n+2)! -1

Posté par
malou Webmaster
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 15:50

eh bien, c'est la fameuse égalité que je voulais te faire démonter au départ
je prends des exemples numériques pour te faire comprendre
6!.7 est égal au produit de ts les entiers 1.2.3.4.5.6 et au final je le multiplie par 7, donc ça fait en réalité
1.2.3.4.5.6.7 et ça c'est 7!

à chaque fois que tu multiplies une factorielle par le nombre qui vient juste après, tu trouves la factorielle suivante

(n+1)!(n+2)
c'est tous les entiers jusque (n+1) que j'ai multipliés entre eux
et je multiplie par le suivant qui est (n+2)
donc je trouve la factorielle suivante (n+2)!

à retenir, car c'est qq chose qu'on utilise sans arrêt dans les démonstrations avec les factorielles!

ça va ?

Posté par
marybella
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 15:59

l'exemple numerique m'a bien comprendre la factorielle. J'ai parfaitement compris .  Vraiment MERCI!!

Posté par
cailloux Correcteur
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 16:10

Bonjour à tous,

Autre solution:

kk!=(k+1-1)k!=(k+1)k!-k!=(k+1)!-k!

Ainsi:

\sum_{k=1}^nkk!=\sum_{k=1}^n(k+1)!-\sum_{k=1}^nk!=(n+1)!-1

Posté par
marybella
re : DM exercice recurrence 22-09-11 à 19:39

je peux demander votre aide pour un autre exercice : le nom est DM probleme suite , et lien :
https://www.ilemaths.net/sujet-dm-probleme-suite-440130.html#msg3727384

merci



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