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Dm factorielle+suite
Bonjour à tous,
J'ai un probleme avec un petit Dm bien chiant.
On considère l'algorithme suivant :
Saisir N
P prend la valeur 1
Pour i variant de 1 à N
P prend la valeur P*i
Fin pour
Afficher P
A/Etude d'un algorithme et programmation
1.Calculer a la main l'entier P pour N=1, N=2, N=3
Fait
2.Mettre en oeuvre l'algo avec la calculatrice.
Fait
3.Calculer P pour N=1 à N=20
Fait
4.Déterminer la formule reliant P à N pour N, un entier naturel quelconque.
Fait
B/Quelques questions sur Excel, pas de problème.
Apparition des trois suites : Un= Vn=Un+
En=Vn-Un
C/Etude mathématique
1.Montrer que pour tout n1 : on a Un
Vn
Je pense qu'il faut faire une demonstration par récurrence,
Je pose Pn:"pour tout n1, Un
Vn"
Initialisation: U1=2 V1=3 2<3 donc P1 est vraie.
Hérédité:
Supposons que Pk est vraie, càd que UkVk
Montrons que Pk+1 est vraie càd que Uk+1Vk+1
Et c'est la que je bloque, je n'arrive pas à trouver la solution.
2.Déterminer une relation entre (n+1)! et n!
Je sais que la relation est (n+1)!=n*n! mais je ne vois aps du tout comment le démontrer.
3.Déterminer le sens de variation des suites (Un) et (Vn)
Je pense qu'un simple (tout est relatif) calcul Un+1-Un et Vn+1-V pourrait etre le resultat mais pour Un+1-Un, je trouve 1/(n+1)! donc je ne sais pas si (n+1)! est positif ou non, et pour Vn je n arrive pas à reduire l expression du départ du calcul... HELP ME!!
4.a)Montrer que Un est majorée par V1
Comme V1=3, j'ai essaye une recurrence avec Un3 mais en essayant la methode avec la fonction associée, je bloque...
b)Démontrer de même que la suite Vn est minorée.
Je ne pense pas qu'on est besoins de calcul ici, puisqu'on à montrer dans la 1. que UnVn et que dnas la 4.a) Un
V1, on trouve que Vn est forcément minorée non?? Enfin, ça me parait logique...
5.Montrer que les suites Un et Vn sont convergentes.
Par rapport aux questions d avant, on utilise un theoreme et c'est terminée..
J'ai encore deux autres questions mais déjà si vous pouviez m'aider pour celles-ci, se serais super.
Merci d avance à ceux qui m'aideront!!
Soupedecarotte (mmmmmm...)
Bonjour à toi!
Que sais-tu sur la factorielle ?
On peut la définir par récurrence comme étant la suite Wn : W0 = 1 et pour n>0 Wn = n*W(n-1)
Il est donc clair que cette suite est croissante et à valeurs positives (il s'agit de la suite de ton étude algorithmique du début)
C)1) Pas besoin de récurrence ; Que vaut simplement Vn - Un ?
2) Découle de la définition de la factorielle : (n+1)! = (n+1) n!
3) Pour répondre à ta question :
pour Un+1-Un, je trouve 1/(n+1)! donc je ne sais pas si (n+1)! est positif ou non
Le calcul de Vn+1 - Vn est plus compliqué :
Mets au meme dénominateur, factorise et ca s'arrange normalement
Rebonjour, merci pour ces explications, je m'y met et je poste ce que j ai trouvé.
Cordialement, Soupedecarotte
Une petite question, comment je met Un dans l'operation Vn-Un car Un est sous la forme d'une somme, donc je ne peux pas mettre le sigma dans la difference non??
Voilà déjà le développement des deux autres questions :
2. Il suffit d'un simple développement? Mais donc
(n+1)!=n!(n+1)
(n+1)!=n!*n+n!*1
(n+1)!=n!*n+n!
Comme je n'ai pas encore la leçon sur les factorielles je ne vois pas comment faire avec n!*n car je dois trouver (n+1)!=n!*n non????
3.
Au même dénominateur sa donne :
Se qui nous laisse :
Se qui ai positif
Merci beaucoup, j'attend juste la confirmation pour la 1. et se sera bon pour ces questions 
Re désolé, je n'ai pas reçu de notifications pour les messages
a) Vn = Un + 1/n*n!
donc Vn - Un = 1/n*n! > 0 donc Vn > Un
b) je maintiens que (n+1)! = (n+1) n! et non pas n n!
Autre moyen de définir la factoriel avec une suite Wn :
W0 = 0 et pour n > 0
Le grand Pi voulant dire "produit" comme Sigma "somme"
c) Ta réduction au même dénominateur est fausse : Il faut que le dénominateur soit n n! (n+1)(n+1)! (oui c'est moche mais bon)
On souhaite que Vn soit décroissante en fait, car nos deux suites Un et Vn sont en fait adjacentes (si tu en as deja entendu parlé)
Bonjour, dsl, je ne pouvais pas me connecter hier soir,
pour la
a)enfait, je l'avais trouver apres^^
b)J'avais une definition fausse mais comme on a pas encore de leçon --'
c)la j'arrive à
mais apres je ne vois pas trop comment faire....est ce que je dois convertir (n+1)n! en (n+1)! ???
Oups désole c'est ma faute je voulais dire le numérateur. D'ailleurs tu n'aurais pas perdu un n à ton dénominateur ? Sinon le numérateur est ok
Ha oui effectivement,
Merci beaucoup pour ces trois questions !!
Est ce que tu pourrais me dire si le raisonnement des questions 4/5 est bon s'il te plait?
Merci encore!!
Les raisonnements pour 4 sont faux mais sans les questions précédentes c'était moins simple
Faisons le point :
1)
3) (Un) est croissante, (Vn) est décroissante
En particulier , pour tout entier > 0
et
En combinant ces 2 questions on trouve le résultat attendu
Attention :
Je ne pense pas qu'on est besoins de calcul ici, puisqu'on à montrer dans la 1. que Un<=Vn et que dnas la 4.a) Un <= V1, on trouve que Vn est forcément minorée non?? Enfin, ça me parait logique...
Ce résultat n'est pas vrai tout le temps :
Par exemple Un = -n² , Vn = -n
Pour tout n>0 , Un
-1 = V1 et Un Vn , Mais Vn (et Un) converge vers - infini donc n'est pas minorée
Il est donc impératif d'utiliser les monotonies des 2 suites
Il faut reprendre les arguments que j'ai cité et rédiger mais en gros ca tombe tout seul avec les résultats précédents oui
D'accord merci, idem pour la question 5. alors non? avec un théoréme qu'on a étudié, je me souviens plus du quel. C est un théoreme qu'il faut utiliser?
Est ce que je peux noter les question 6/7 du coup, maintenant qu'on a fait les questions d avant?
Effectivement tu disposes d'un résultat permettant de conclure : Un est croissante et majorée donc convergente, Vn décroissante et minorée donc convergente aussi
Je suppose qu'on te demande ensuite de prouver qu'elles ont meme limite, et que cette limite est coincée entre Un et Vn non ?
Ensuite on me demande de montrer que n*n!>n pour n>1
Et ensuite, en deduire la limite de la suite En, qui est egale à Vn-Un
D'accord merci beaucoup, et la derniere question c est en deduire que les suites Un et Vn ont la meme limite....
attention :
l<l'
Quand on passe a la limite toutes les inégalités meme strictes deviennent larges
Sinon ici il s'agit d'un simple passage a la limite :
En = Vn - Un
Vn -> l'
Un -> l
En -> 0
Par passage a la limite :
0 = l' - l donc l = l'
Ha oui d'accord enfait c est plus que simple...je suis plus que nouille là
Mais ça c est la reponse a la question 7., du coup, je n ai pas compris comment tu as trouvé que limite de En est 0?? Pourrais tu m expliquer s il te plait..
D'accord merci beaucoup pour ce Dm, merci de ton aide, je te remercie d'avoir pris un peu de ton temps pour m'aider.
A bientot (prochain week end avec un Dm 
Et pour ceux de ma classe qui trouverais la bonne idée de copier sur ce poste, on se parlera à la rentrée 
Bonjour , c'est bête , mais pour ma part je bloque pour les premières questions avec l'algorithme...Je ne comprends pas " pour i variant de 1 à N " car si on prend N=2 , i varie donc entre 1 et 2 et on ne peut pas savoir le resultat pour P ?
Bonjour à toi
Je ne comprends pas bien ta question
si N = 2 , alors i prend la valeur 1, puis la valeur 2
Initialement P = 1
i = 1
P := P * 1
Donc P = 1
i = 2
P:= P*2
Donc P = 2
i = N donc fin
Renvoi P = 2
Ben c'est de multiplier la valeur courante de P par N
On défini en fait la factorielle
N! = 1*2*3*...*(N-1)*N
Il faut donc que notre i parcourt les valeurs de 1 jusqu'à N inclus
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