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DM fonction dérivée seconde / point d'inflexion
Bonjour, j'ai un DM à faire mais je me voilà bloqué, pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?
L'énoncé est le suivant:
PARTIE A:
Dans le plan muni d'un repère, on note Cf, la courbe représentative d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur R.
O note f' sa fonction dérivée et f" sa fonction dérivée seconde.
On a placé les points A(0;2), B(-2;0) et C(2;0)
(Ci-joint le graphique, excusez moi de son imprécision je ne suis pas très bon avec Geogebra)
On dispose des renseignement suivants:
-Les points A et B appartiennent à Cf
-La droite (AC) est tangente en A à Cf
-La tangente à Cf au point d'abscisse -1 est horizontale.
1) Donner les valeurs de f(0), f(-2), f'(-1) et f'(0)
J'ai trouvé ici: f(0)= 2 f(-2)=0 f'(-1)=0 f'(0)=-1
2) Déterminer l'intervalle sur lequel la fonction f semble convexe et l'intervalle sur lequel elle semble concave.
Ici je bloque, il faut le tracé de la fonction dérivée seconde pour faire cela non?
PARTIE B
On admet que la fonction f est définie sur R par g(x)=(x+2)e-x
1) Calculer les valeurs de f(0), f(-2), f'(-1) et f'(0)
2) Déterminer une équation de la tangente Cf au point A d'abscisse 0
3) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition
4) Démontrer que, pouur tout réel x, f"(x)=xe-x
5) Etudier la convexité de f sur R
6) Préciser si la courbe Cf admet un point d'inflexion. Si oui, préciser ses coordonnées et que peut-on dire de la tangente à Cf en ce point ?
Merci à vous.
**image redimensionnée**
bonjour
partie A
1) oui
2) on te demande une conjecture ("...semble...")
en gros :
convexe : en forme de U
concave : en forme de 
partie B
qu'as-tu essayé ?
Bonjour
Partie A question 1 pas de problème correct
question 2 Il est dit qu'au point d'inflexion la courbe traverse sa tangente donc en regardant le graphique vous voyez bien un point où avant la courbe en vert est au-dessous de celle en noir et après ce point elle est au-dessus de celle en noir
Partie B
bonjour hekla,
vous pouvez rester, je dois vaquer à mes occupations ménagères,
et ne resterai pas longtemps connectée.
Ah oui d'accord, donc pour la 2), ca serai: La fonction f semble concave sur ]-
;2,5] et convexe sur [1,5;+] (mais je ne suis vraiment pas sur pour l'intervalle où elle semble convexe, puisque je pense qu'elle n'est pas du tout convexe, elle semble plus tendre vers 0 en + je suppose)
Et pour la partie B, j'ai fais ça:
1/ f(0)=(0+2)e-0 =2
f(-2)=(-2+2)e² =0
(dérivée de la forme f'(uv)=u'v+v'u)
f'(x)=1e-x+(-e-x)(x+2)
f'(x)=e-x-exx-2e-x
f'(x)=-e-x-e-xx
f'(-1)=-e1-e1*1 =0
f'(0)=-e0-e0*0 =-1
2/ y=f'(a)(x-a)+f(a)
Equation de la tangente au point d'abscisse 0
y=f'(0)(x-0)+f(0)
y=-1(x)+2
y=-x+2
3/ Je suis arrivé ici, il faut calculer les limites au bornes de la fonction, donc les limites en - et + je pense.
Pour courage alors pour le ménage.
La tangente qui est dessinée est celle en 0 donc s'il y a un point d'inflexion c'est en 0
Partie B 1
dérivée oui
les valeurs sont correctes ce sont les mêmes qu'à la partie A
2 oui
3 définie sur les bornes sont bien
et
Mais pour la 3) j'ai un problème, la limite en - est -, mais par contre pour la limite en +, je me retrouve avec une forme indéterminée (x+2 qui tend vers + * e-x qui lui tend vers 0) j'ai donc essayer en développant mon expression mais je rencontre le même problème (e-xx + 2e-x) Comment est ce que je pourrai lever l'indétermination ?
Ah oui j'avais oublié les croissances comparé ^^".
Et bien après pour la 4) j'ai trouver: f"(x)=e-x+e-xx-e-x =-e-x
5) Ici par contre, je ne sais pas comment "étudier la convexité"..
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