Bonjour,
Je suis en terminale et j'ai un dm à rendre pour la rentrée, sauf que je bloque dès le départ...

Voici le sujet :

Et si on calculait la 2006ème dérivée x=(x^2) (e^-x) ?
On considère la fonction f définie sur R par f(x) =( x^2) (e^-x). On pose f^(0) =f, f^(1)=f' (dérivée de f) et f^(n) la dérivée n ième de la fonction f.

1) Montrer par récurrence que f^(n) (x) s'écrit comme le produit d'un polynôme du second degré par e^-x.

Donc là j'ai initialisé à n0=0, ce qui me donne f(0) =(0^2) (e^0)
                         =0×1 donc 0.
Hérédité : f^(n+1) (x) = (x+1) ^2 x e ^(-x-1)
                                                 = (x^2+2x+1) e^-x

2) On pose alors f^(n) (x) = (an x^2 + bn x + cn) e^-x.
      a) Donner ou calculer a0, a1, a2, b0, b1, b2, c0, c1, c2.
      b) Trouver des relations de récurrence entre an, bn, cn et an+1, bn+1 et cn+1.
       c) Donner un programme de calcul permettant de déterminer a2006, b2006 et c2006.
       d) Montrer que pour p appartenant à N, b(2p+1)=4+b(2p-1)
        e) Trouver l'expression de bn en fonction de n.