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DM - Fonctions Dérivées
Bonsoir,
Je dois rendre un devoir maison pour Lundi et après avoir cherché pendant de longues heures je suis venu sur ce site pour vous demander une aide, une piste afin de me relancer dans la résolution de mon exercice.
Enoncé :
Le but de l'exercice est de démontrer que pour tout entier naturel n 
* et tout réel a 
-1, on a l'inégalité ( 1 + a )n 1 + na.
1 - Justifier l'inégalité pour n = 1 et pour n = 2.
2 - On se place maintenant dans le cas où n 3.
On considère la fonction 
définie sur [-1 ; +
[ par : (x) = (1 + x)n - (1 + nx)
a) Calculer ' (x) puis '' (x) où ' et '' désignent les fonctions dérivées respectives de et ' .
b) Justifier que ' est strictement croissante sur [-1; +[ et en déduire le tableau de variation de .
c) En déduire que l'inégalité est vérifiée pour tout entier n 3.
3) Conclure
Ce que j'ai fais pour l'instant :
1) Pour n = 1 
(1 + a)1 1 + 1a
1 
1 + a 1 + a
donc (1 + a)n 1+na
Pour n = 2 ( 1 +a)² 1 + 2a
1 + 2a + a² 1 + 2a
sachant que a² > 0 on a 1 +2a + a² 1 + 2a
2a) Pour dérivé cette fonction, j'utilise une formule du cours :
f(x) = [u(x)]n f'(x) = nu'(x)[u(x)]n-1
On a donc : (x) = (1 + x)n - (1 + nx)
Soit ' (x) = n1(1 + x)n-1 - (0 + n)
= n(1 + x)n-1 - n
Pour dérivé '' j'ai utilisé la même formule, mais je ne sais si elle est juste :
On a : ' (x) = n(1 + x)n-1 - n
Soit '' (x) = (n - 1) 1 (1 + x )n-2
= (n - 1) (1 + x )n-2
J'ai besoin de votre aide à partir de là, j'ai besoin de savoir si mes questions précédentes sont justes, plus précisément les dérivées afin de poursuivre...
J'espère que vous pourrez m'aider !
Merci d'avoir consacré du temps pour moi ! :p
P.S : Ne me donnez pas la réponse, j'aimerais plutôt que vous me donniez une piste, un élément en plus ! Merci 
Bonsoir !
Ton est faux : oubli d'un
.
Pour continuer tu regardes le signe de d'où les variations de
et à l'aide de
et la limite en
tu trouves le signe de
.
Idem pour .
Bonsoir,
Déjà merci pour cette réponse si rapide !
Donc ça serait plutôt : '' (x) = n( n -1 ) ( 1 + x)n-2 ?
2b) Sachant que n 3 et x [-1 ; +[
On a n(n + 1) > 0 et (1 + x)n-2 0 donc : n(n + 1) (1 + x)n-2 0 où pour x = -1 la fonction '' s'annule.
Ce qui nous permet de montrer que la fonction ' est croissante sur [ -1 ; +[ .
Ensuite on calcule ' (-1) avec n le plus petit possible soit 3 :
= 3(1 + (-1) )3-1 - 3
= 3 0 - 3
= -3
Et concernant la limite, la fonction sera toujours croissante soit positif.
De plus ' s'annule en x = 0 soit la fonction est négatif dans l'intervalle [-1;0] et positif [0; + [.
Ce qui nous donne les variations de où elle est décroissante dans l'intervalle [-1;0] et croissante [0; + [
Et la fonction s'annule en : (0) = 0
Est ce correcte ?
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