Bonjour à tous et à toutes,

Je suis en classe de terminale S et j'ai un DM à faire pour la rentrée (c'est mon premier jour de vacances). Puisque je tiens à apprécier pleinement mes vacances, je préfère m'avancer tout de suite. Le premier exercice que je vais vous présenter est une introduction au logarithme décimal que nous n'avons pas vu en cours. C'est donc pour vérifier mes réponses que je vous sollicite. Les deux autres exercices sont moins biens aboutis, mais ils seront postés sur deux autres sujets.

Partie  1 :La fonction logarithme décimal

L'idée est la suivante, si on multiplie les logarithmes de Neper par un même nombre k, on conservera la propriété de transformer les produits en sommes. Mais en choisissant k de façon à ce que l'image de 10 soit 1, on aura d'autres propriétés intéressantes : l'image de 100=10^2 sera 2, l'image de 1000=10^3 sera 3, l'image de 0.1=10^-1 sera -1 etc.

1) Étant donné un nombre k, on considère la fonction f définie sur ]0;+infini[ par f(x)=k*ln(x). Démontrer que pour tous réels x et y strictement positifs, f(xy)=f(x)+f(y).

f(xy)=k*ln(xy)
f(xy)=k*(ln(x)+ln(y))
f(xy)=k*ln(x)+k*ln(y)
f(xy)=f(x)+f(y)

2) Déterminer k tel que f(10)=1

k*ln(10)=1<=>k=1/ln(10)

3) Pour tout nombre entier x>0, on appelle logarithme décimal de x le nombre log(x)=ln(x)/ln(10)

a) Démontrer que pour tout x>0 et pour tout y>0 , log(xy)=log(x)+log(y)

log(xy)=ln(xy)/ln(10)
log(xy)=(ln(x)+ln(y))/ln(10)
log(xy)=ln(x)/ln(10) + ln(y)/ln(10)
log(xy)=log(x)+log(y)

b)Démontrer que pour tout n appartenant à N, log(10^n)=n

log(10^n)=ln(10^n)/ln(10)
log(10^n)=n*ln(10)/ln(10)
log(10^n)=n

Voilà pour ce premier exercice. Je pars rédiger les autres.
Merci d'avance pour votre aide