Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques LycéeOn parle exclusivement de maths, niveau lycée. TerminaleForum de terminale Fonction LogarithmeTopics traitant de Fonction Logarithme [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau terminale
Partager :

DM Logarithme népérien

Posté par
mhaud 22-12-16 à 10:52

Bonjour je suis en terminale S et j'ai un DM à faire pour la rentrée. J'aurais besoins de votre aide, tout d'bord pour la première question puisque si j'ai faux à celle ci je ne peux continuer le DM et si je n'arrive pas aux autres je reviendrais sur ce forum .

Problème
Le but de ce problème, est d'étudier le sens de variation de la formation f définie sur ]0;1[U]1;+infinie[ par : f(x)=e^x+1/(ln⁡(x))

Partie A
Soit la fonction g définie sur ]0;+infinie[ par : g(x)=x(lnx)^2-e^-x
1. Calculer pour xE]0;+infinie[ g'(x)
2.a) Pourquoi peut on affirmer g'(x)>0 sur [1;+inf[ ?
b) Calculer g(1), puis déterminer limx->+inf g(x)
c) Construire le tableau de variation de g sur [1;+inf[
d) Montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution \alpha E [1;+inf[
Donner un encadrement de \alpha d'amplitude 10^-1
e) en déduire le signe de g(x) sur [1;+inf[ ?
3.a) Pourquoi le signe de g'(x) est-il inconnu sur ]0;1]
b) On pose g1(x)= x(lnx)^2 pour x E ]0;1]
Etudier le sens de variation de g1 sur ]0;1]
On admet que limx->0 g1(x)=0. Construire le tableau de variation de g sur ]0;1]
Donner les valeur approchées de :g1(1/e^2) ; g1(1/2) à 10^-2 près
c) On pose g2(x)=E^-x pour x E[0;1]
Etudier le sens de variation de g2 sur [0;1] et construire le tableau de variation de g2 sur [0;1]
Donner les valeurs approchées de : g2(1/e^2) ; g2(1/2) à 10^-2 près
d) Rassembler dans le même tableau de variation les résultats trouvés ci dessus
En déduire que g1(x)<g2(x) sur ]0;1]
e) en déduire le signe de g(x) sur ]0;1]

Parit B
1. Déterminer linx->0 f(x) et limx->+inf f(x)
2. Après avoir rappelé le signe de ln(x), déterminer les limites de f(x) à gauche et à droite de 1
3.a) Calculer f'(x) pour xE]0;1[U]1;+inf[
Montrer que f'(x) peut se mettre sous la forme f'(x)=(e^x.g(x))/(lnx)^2
b) Construire le tableau de variation de f sur ]0;1[U]1;+inf[

Alors pour l'instant j'aimerais jute avoir une confirmation de ma dérivée de la partie A  1. svp (merci de votre aide)
g'(x)=(lnx)^2+2lnx+e^-x

Posté par
fenamat84re : DM Logarithme népérien 22-12-16 à 11:37

Bonjour,

Partie A :

1) Ta dérivée g' m'a l'air d'être correct. On trouve bien :

g'(x)=ln²(x)+2ln(x)+e^{-x}

Posté par
Cherchellre : DM Logarithme népérien 22-12-16 à 11:48

oui ta dérivée est juste

Posté par
Cherchellre : DM Logarithme népérien 22-12-16 à 13:32

personnellement, je n'arrive pas à conclure sur la question A 3. d., l'inégalité est simple sur ] 0 ; e - 2 [ mais je ne comprends pas comment conclure sur [e - 2 ; 1 ]

Posté par
fenamat84re : DM Logarithme népérien 22-12-16 à 14:38

Et aussi...

Ta fonction f c'est ; f(x)=e^x+\frac{1}{ln(x)} ou bien f(x)=\frac{e^x+1}{ln(x)} ??

Posté par
fenamat84re : DM Logarithme népérien 22-12-16 à 16:08

Partie A :

3d) D'une part, g1 est strictement croissante sur]0;1/e²[, la limite en 0 de g1 a été admise c'est 0 et g1(1/e²) = 4/e² 0.54 (à 10-2 près).

Ainsi :  0 < g_1(x) \leq \frac{4}{e²} \approx 0.54.

D'autre part, g2 est strictement décroissante sur [0;1/e²] (car strictement décroissante sur [0;1]), g2(0) = 1 et g2(1/e²) 0.87 (à 10-2 près).

Ainsi : 0.87 \leq g_2(x) \leq 1.

Or 0.54 \leq 0.87, donc l'inégalité g1(x) < g2(x) est évidente sur ]0;1/e²].

Concernant l'autre intervalle ]1/e²;1], on a d'une part :
g1 qui est strictement décroissante sur ]1/e²;1], g1(1/e²) = 4/e² 0.54 (ça reste inchangé) et g1(1) = 0.

Ainsi : 0 \leq g_1(x) \leq 0.54.

D'autre part, g2 est aussi strictement décroissante sur ]1/e²;1], g2(1/e²) 0.87 et g(1) = 1/e 0.37.

Ainsi : g(1)=1/e \leq g_2(x) \leq g_2(1/e²) \approx 0.87.
Or g_2(1)=1/e \leq g_1(1/e²)=4/e² \approx 0.54.

Donc l'inégalité g1(x) < g2(x) est aussi prouvée sur ]1/e²;1].

Posté par
mhaudre : DM Logarithme népérien 23-12-16 à 11:14

La fonction f(x) est e^{x}+\frac{1}{ln(x)}
Merci pour la confirmation de ma dérivée. J'ai avancé sur mon DM et maintenant j'aurais un problème sur la partie B, je voudrais savoir si mes limites sont justes :
1) \lim_{x\rightarrow 0} f(x) = -\infty
\lim_{x\rightarrow 1^{+}} f(x) = +\infty
\lim_{x\rightarrow 1^{-}} f(x) = -\infty

Ensuite pour la question 3)a) de cette même partie je n'arrive pas à trouver la dérivée j'ai trouvé la forme qui est u.v et pour 1/l(x) c'et de la forme u/v mais je n'arrive pas à simplifier assez pour trouvé la forme demandée dans l'énoncer.

Posté par
mhaudre : DM Logarithme népérien 23-12-16 à 11:18

j'ai inversé des limites en recopiant ! désolé, c'est :

1) \lim _ {x\rightarrow 0} f(x)=-\infty

\lim _ {x\rightarrow +\infty } f(x)=+\infty

2) \lim _ {x\rightarrow 1^{+} } f(x)=+\infty

\lim _ {x\rightarrow 1^{-} } f(x)=-\infty

Posté par
fenamat84re : DM Logarithme népérien 23-12-16 à 12:07

Rebonjour,

Partie B :

1) Ta limite en 0 de f est fausse !! Ce n'est pas -infini.
Quelle est la limite de e^x lorsque x tend vers 0 ?

La limite en +infini de f est correcte.

2) Tes limites en 1 à gauche et à droite sont correctes.

Posté par
mhaudre : DM Logarithme népérien 27-12-16 à 09:57

ha oui , du coup :
\lim_{x\rightarrow 0} f(x)=1

et j'aurais d'autres questions :
En fait je n'arrive pas à rédiger la réponse de la 3)a) de la partie A et je ne trouve pas la dérivée de f(x) de la question 3)a) partie B.  

Posté par
fenamat84re : DM Logarithme népérien 27-12-16 à 15:12

3a) Tu as plusieurs manières de procéder pour calculer la dérivée de f :

Soit tu calcules séparément la dérivée de e^x puis la dérivée de \frac{1}{ln(x)}. Puis ensuite tu réduis tout sur le même dénominateur.

Soit tu réduis déjà ta fonction f sous le même dénominateur, à savoir : f(x)=\frac{e^xln(x)+1}{ln(x)} et tu passes ensuite à la dérivée.

Pour moi, je vais utiliser cette dernière méthode, car au moins la réduction sur le même dénominateur a été déjà faite... donc les calculs seront moins pénibles....

Donc on voit clairement que f est de la forme \frac{u}{v} avec :
u(x)=e^xln(x)+1 et v(x)=ln(x)
Ainsi :
u'(x)=e^xln(x)+\frac{e^x}{x} et v'(x)=\frac{1}{x}.

La dérivée est donc donnée par : \frac{u'v-v'u}{v²}. Ainsi :

f'(x)=\frac{ln(x)[e^xln(x)+\frac{e^x}{x}]-\frac{e^xln(x)+1}{x}}{(ln(x))²}

Puis tu termines les calculs pour arriver au résultat final...

PS : J'ai quand même un sérieux doute sur la forme du résultat recherchée...
Je pense qu'il manque un "x" au dénominateur, à savoir que ce serait plutôt :

f'(x)=\frac{e^xg(x)}{x(ln(x))²} !

Posté par
mhaudre : DM Logarithme népérien 28-12-16 à 09:55

D'accord merci, effectivement je pense que ma prof à oublier ce x au dénominateur car j'ai recommencé au moins 3 fois cette dérivée et je n'arrive pas à l'enlever.
Merci pour ces conseils

Posté par
fenamat84re : DM Logarithme népérien 28-12-16 à 12:09

De rien.
Oui, j'ai moi même utilisé les 2 manières pour calculer cette dérivée, et je tombe sur le même résultat, à savoir un "x" de plus au dénominateur.

Sur ce, bonnes fêtes de fin d'année.

Posté par
MmePeyssonre : DM Logarithme népérien 02-01-17 à 15:27

Mais qu'est-ce que cela signifie ?!


Rechercher
Menu
Espace membre
18 visiteurs
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1732 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !