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Dm math sommes des n premiers carrés

Posté par
mimiiii14
10-01-21 à 00:46

Bonjour,
J'ai ici un devoir maison de mathématique et je n'y arrive pas sur certaines questions. Je viens ici pour essayer de trouver de l'aide et des explications. merci d'avance

Voici mon énoncé
Pour tout n appartient à N on considère les sommes suivantes :
Sn= 1+2+3+...+n
Dn= 1+2²+3²+...+n²
Tn= 1+2³+3³+...+n³

1.Rappeler la propriété du cours concernant Sn
2.Montrer que T(n+1)-Tn = (n + 1)³
3.a)Montrer que (n+1)³ = n³+3n²+3n+1
On notera cette égalité En.
b)En ajoutant membre à membre les égalité En, E(n-1), E(n-2), ... , E3, E2, E1 montrer qu'on a :
T(n+1) = Tn + 3Dn + 3Sn + n + 1
4.A l'aide des questions précédentes montrer que :
1+2²+3²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6

Voici mes réponses :

1. Sn= n(n+1)/2
2. Tn = n²(n+1)²/4
T(n+1)= (n+1)²((n+1)+1)²/2
3.a) j'ai développer
b) je n'ai pas du tout compris la question
4.Je n'arrive pas à montrer l'égalité

Voilà j'espère que vous pourrez m'aider merci à vous.

Posté par
Yzz
re : Dm math sommes des n premiers carrés 10-01-21 à 06:33

Salut,

Tu n'as pas répondu à la question 2 (tu dois calculer T(n+1)-Tn et prouver que c'est égal à (n + 1)³ ).

3b :
(n+1)³ = n³+3n²+3n+1 donc
n³ = (n-1)³+3(n-1)²+3(n-1)+1
(n-1)³ = (n-2)³+3(n-2)²+3(n-2)+1
etc...
Ecris les deux dernières égalités de ce type, puis ajoute ces égalités "verticalement" :
(n+1)³ + n³ + (n-1)³ + ... = ...

Posté par
mimiiii14
re : Dm math sommes des n premiers carrés 10-01-21 à 13:22

D'accord merci

Alors à la question 2 j'ai trouver :
T(n+1)-Tn= n4+6n3+13n2+12n+4/4 = n2(n+1)2/4 = (n+1)3

pour la 3b) j'ai calculer mes égalité E3, E2 et E1 mais je ne comprend pas comment il faut les ajouter verticalement je n'arrive pas à faire le calcul.
pourriez vous m'expliquer.

Posté par
Yzz
re : Dm math sommes des n premiers carrés 10-01-21 à 14:43

(n+1)³ = +3n²+3n+1 donc
= (n-1)³+3(n-1)²+3(n-1)+1
(n-1)³ = (n-2)³+3(n-2)²+3(n-2)+1
etc...

Ecris les deux dernières égalités de ce type, puis ajoute ces égalités "verticalement" :

(n+1)³ + + (n-1)³ + ... = ... (somme des verts + somme des bleus + ... )

Posté par
mimiiii14
re : Dm math sommes des n premiers carrés 10-01-21 à 15:05

d'accord merci j'ai compris comment faire la somme des égalités.
mais les deux dernière égalité à ajouter sont E3 et E2 ?

Posté par
malou Webmaster
re : Dm math sommes des n premiers carrés 10-01-21 à 18:51

mimiiii14

quel manque de politesse vis à vis des personnes qui ont commencé à t'aider ici, que d'aller poster ailleurs....

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