Une fonction polynôme à coefficients réels est une fonction définie
sur R et à valeurs dans R, par une expression du type :
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 avec n dans N.
Les nombres réels a0,...,an sont appelés les coefficients de P.
Les exposants de x sont toujours des entiers naturels.
Ainsi, dans une fonction polynôme, il
ne peut jamais y avoir de ...
En effet,
Si an 0, n est appelé le degré de P.
Si P est de la forme P(x) = c (avec c non nul), alors P est un polynôme de degré 0.
Si P est de la forme P(x) = bx + c (avec b non nul), alors P est un polynôme de degré 1.
Si P est de la forme P(x) = ax^2 + bx +c (avec a non nul), alors P est un polynôme de degré 2.
Exemple 1 : , P est un polynôme de degré 4.
Exemple 2 : Q est un polynôme de degré 0 (constante non nulle).
Vocabulaire
Un polynôme composé de 1,2 ou 3 termes est respectivement appelé monôme, binôme, trinôme.
Exemples :
est un monôme de degré 5,
est un binôme de degré 1,
est un trinôme de degré 2.
Teste-Toi
Les fonctions suivantes sont-elles des fonctions polynômes ?
Corrige-toi
f(x) est la somme de 3 monômes : tous les coefficients sont des réels, les exposants de x sont des entiers naturels, et la fonction est définie sur R :
f est une fonction polynôme de degré 3.
la fonction g est définie sur R\{-1} ; en effet -1 n'a pas d'image.
on peut remarquer que, sur R\{-1}, mais g n'étant pas définie sur R, g n'est pas une fonction polynôme.
2. Opérations sur les degrés
Soit P et Q deux fonctions polynômes non nulles.
Le produit de deux fonctions polynômes est une fonction polynôme, et
deg (PQ) = deg P + deg Q
Exemple : et polynômes respectivement de degré 1 et 2.
est un polynôme de degré 3.
La somme (ou la différence) de deux fonctions polynômes est une fonction polynôme , et
deg (P + Q) sup(deg P, deg Q)
Exemple : et polynômes respectivement de degré 2 et 1
polynôme de degré 2
Remarque : l'inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré pouvant s'annuler.
Teste-toi
Soit f et g deux fonctions polynômes définies par et Quelle est l'expression et le degré de : ?
Corrige-toi
fonction polynôme de degré 1
fonction polynôme de degré 2
fonction polynôme de degré 4
3. Egalité de deux fonctions polynômes
Soit P et Q deux fonctions polynômes
P = Q signifie que :
deg P = deg Q et
les coefficients des termes de même degré de P et Q sont égaux
Cas particulier : P = 0 signifie que tous les coefficients de P sont nuls.
Une application très utile dans les exercices : Méthode par identification des coefficients
Le principe : Pour que deux polynômes soient égaux, on écrit qu'il suffit que leurs coefficients de même degré soient
égaux deux à deux.
Exemple : Soient P et Q deux polynômes à coefficients réels définis respectivement par
et . Déterminer a, b et c afin que ces deux polynômes soient
égaux.
On vérifie que ces deux polynômes ont le même degré, ici 2
Par identification des coefficients sur les monômes de même degré, on établit le sytème suivant :
Teste-toi
Soit f, g, et h trois fonctions polynômes définies par
Déterminer le réel a afin que les fonctions et soient égales.
Corrige-toi
f et g sont de degré 1 ; le produit est donc de degré 2, identique au degré de h.
par identification des coefficients des fonctions et h, il faut et il suffit que 1+3a = 16, soit a = 5
4. Racine d'une fonction polynôme
Soit P une fonction polynôme de degré n, n 1.
Définition
Une racine (ou zéro) de P est un nombre a tel que P(a) = 0.
Déterminer les racines de P, c'est résoudre l'équation P(x) = 0.
Exemple 1 : Soit .
équivaut à dire soit On dit que -3 est la racine de P.
Exemple 2 : On peut aussi parfois trouver une racine dite "évidente", par simple calcul mental.
En général, on teste les valeurs avec les entiers -2, -1, 0 , 1 , 2
Soit Q défini par . 0 est racine évidente de Q car Soit R défini par . 1 est racine évidente de R car
A retenir
Si a est racine de P, alors on peut factoriser P par (x-a)
Réciproquement : si on peut factoriser P par (x-a), alors a est racine de P.
Teste-toi
a. Soit f la fonction polynôme définie par Parmi les nombres suivants: 1 ; -2 ; 3, lesquels sont racines de f ?
b. Trouver les deux racines évidentes du polynôme
Corrige-toi
a. on calcule les images des nombres proposés.
remarque : lorsque la somme des coefficients est égale à 0 alors 1 est racine du polynôme ;
sur cet exemple, on a bien 3-4-13+14 = 0
donc 2 est racine de f
donc 3 n'est pas racine de f
b. Trouver les deux racines évidentes du polynôme on remarque que le coefficient constant est nul : 0 est une racine évidente car P(0) = 0
on peut factoriser : -1 est racine évidente de ; en effet -1 est donc également une racine de P
5. Factorisation
Théorème
a est une racine de P si et seulement s'il existe une fonction polynôme Q telle que pour tout réel x, P(x) = (x - a) Q(x).
Remarques importantes : On a alors deg (Q )= deg (P) - 1 ;
Ce théorème permet de réduire le degré d'une équation.
Exemple 1 : Factoriser
Dans un premier temps on remarque que 2 est racine évidente ; en effet, Q(2)=0. On a donc :
Exemple 2 : factoriser le polynôme P défini par en utilisant la méthode par identification.
P est un polynôme de degré 3
On remarque que -2 est une racine évidente ; en effet P(x) est donc factorisable par (x-(-2)) soit (x+2)
Il existe donc une fonction polynôme Q, de degré 2, de la forme
avec a, b et c réels, telle que On développe, regroupe, et ordonne les termes par degrés décroissants :
Par identification des coefficients de P et de Q, on établit le système suivant, à résoudre :
Après résolution du système, on obtient a=1, b=-1, c=2 soit
polynôme non factorisable
Conclusion : P(x)=(x+2)(x^2-x+2). (On peut développer ce produit pour se vérifier)
Teste-toi
Factoriser la fonction polynôme définie par pistes : racine(s) évidente(s) et identification
Corrige-toi
On veut factoriser pour trouver les racines évidentes, on teste habituellement parmi les nombres -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2
1 et -2 sont racines évidentes (cf exercice de la section précédente).
on peut donc factoriser f(x) par (x-1)(x+2)
il existe une fonction polynôme h(x), de degré 3-2=1, donc de la forme affine ,
telle que ;
déterminons alors les coefficients a et b :
par identification des coefficients, on établit le système :
Après résolution, on obtient a=3 et b=-7 ; ainsi
6. Résolution d'équation de degré supérieur ou égal à 3
Chercher une ou plusieurs racines évidentes, en les conjecturant avec la calculatrice par exemple
(souvent parmi les entiers -2, -1, 0, 1, 2)
Mettre en évidence le ou les facteurs communs si le coefficient constant est non nul.
Si possible, utiliser une ou plusieurs fois le théorème précédent (cf. 5.) pour
factoriser le plus possible, afin d'arriver à un polynôme du premier ou du second degré.
Enfin, résoudre l'équation produit nul.
Teste-toi
Résoudre dans R l'équation suivante : pistes :
a. vérifier que 8 est racine de b. trouver une racine évidente (on remarquera que la somme des coefficients du polynôme est égale à 0)
c. factoriser P(x) puis résoudre l'équation.
Corrige-toi
résoudre dans R l'équation suivante : on calcule 8 est racine de P
la somme des coefficients du polynôme est égale à 0 ; 1 est donc racine de P ;
on peut le vérifier : P(1) = -1+6+19-24 = 0
ainsi Q étant un polynôme de degré 1, de la forme avec a et b réels.
on développe, réduit et ordonne par identification des coefficients, on établit puis résout le système :
et on trouve a=-1 et b= -3.
ainsi l'ensemble S des solutions est S=
7. Une formule utile
Quels que soient les réels x et a, xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + ... + akxn-k-1 + ... + an-2x + an-1).
Publié par malou/carita
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0, n est appelé le degré de P.
=3x^4+5x^3-x-7)
, P est un polynôme de degré 4.
=- 8)
Q est un polynôme de degré 0 (constante non nulle).
est un monôme de degré 5,
est un binôme de degré 1,
est un trinôme de degré 2.
Teste-Toi
=8x+3)
et =x^2)
polynômes respectivement de degré 1 et 2.
\times Q(x)=8x^3+3x^2)
est un polynôme de degré 3.
=4x^2+7 )
et =x-7)
polynômes respectivement de degré 2 et 1
+S(x)=4x^2+x )
polynôme de degré 2
=7x^2+3x-5)
et =ax^2-bx+\dfrac c 2)
. Déterminer a, b et c afin que ces deux polynômes soient
égaux.
On vérifie que ces deux polynômes ont le même degré, ici 2
1.
=3+x)
.
=0 )
équivaut à dire 
soit 
=x^2-x)
. 0 est racine évidente de Q car =0^2-0=0)
=x^2+2x-3)
. 1 est racine évidente de R car
=1^2+2\times 1-3=0)
=x^2+3x-10)
& = &x^2+3x-10 & & \\ Q(2)& = & 2^2+6-10 & & \\ ---& ---&---- - & &\text{ En soustrayant membre à membre, on obtient} \\ Q(x)-Q(2)&= & (x^2-2^2)+(3x-6) & & \\ Q(x)-0 & = & (x-2)(x+2)+3(x-2) & & \\ Q(x)& = &(x-2)(x+2+3) & & \\ Q(x)& =&(x-2)(x+5) & & \end{matrix})
=x^3+x^2+4)
en utilisant la méthode par identification.
=(-2)^3+(-2)^2+4=-8+4+4=0)
=ax^2+bx+c)
avec a, b et c réels, telle que =(x+2)Q(x))
Q(x)=(x+2)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)x+2c)
=x^2-x+2)
polynôme non factorisable
Q) = deg P + deg Q 
sup(deg P, deg Q)
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