Fiche de mathématiques
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Fonctions Polynômes : Généralités

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Fiche modifiée en 2020



1. Définitions


Définitions
Une fonction polynôme à coefficients réels est une fonction définie sur R et à valeurs dans R, par une expression du type :
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 avec n dans N.

Les nombres réels a0,...,an sont appelés les coefficients de P.


Les exposants de x sont toujours des entiers naturels.
Ainsi, dans une fonction polynôme, il ne peut jamais y avoir de \sqrt x\text{ ou } \dfrac 1 x \text{ ou } \dfrac{1}{x^2} \text{ ou } \dfrac{1}{x-3}...
En effet, \sqrt x = x^{\frac 1 2} \text{ et } \frac 1 x = x^{-1}

Si an \neq 0, n est appelé le degré de P.
Si P est de la forme P(x) = c (avec c non nul), alors P est un polynôme de degré 0.
Si P est de la forme P(x) = bx + c (avec b non nul), alors P est un polynôme de degré 1.
Si P est de la forme P(x) = ax^2 + bx +c (avec a non nul), alors P est un polynôme de degré 2.



Exemple 1 : P(x)=3x^4+5x^3-x-7, P est un polynôme de degré 4.

Exemple 2 : Q(x)=- 8 Q est un polynôme de degré 0 (constante non nulle).

Vocabulaire
Un polynôme composé de 1,2 ou 3 termes est respectivement appelé monôme, binôme, trinôme.


Exemples :
\bullet\; 3x^5 est un monôme de degré 5,
\bullet\; \dfrac 2 3 x -9 est un binôme de degré 1,
\bullet\; \pi x^2+2,4x -\sqrt 5 est un trinôme de degré 2.

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2. Opérations sur les degrés

Soit P et Q deux fonctions polynômes non nulles.
Le produit de deux fonctions polynômes est une fonction polynôme, et
deg (PmultiplieQ) = deg P + deg Q


Exemple : P(x)=8x+3 et Q(x)=x^2 polynômes respectivement de degré 1 et 2.
P(x)\times Q(x)=8x^3+3x^2 est un polynôme de degré 3.

La somme (ou la différence) de deux fonctions polynômes est une fonction polynôme , et
deg (P + Q) infegal sup(deg P, deg Q)


Exemple : R(x)=4x^2+7 et S(x)=x-7 polynômes respectivement de degré 2 et 1
R(x)+S(x)=4x^2+x polynôme de degré 2

Remarque : l'inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré pouvant s'annuler.

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3. Egalité de deux fonctions polynômes

Soit P et Q deux fonctions polynômes
P = Q signifie que :
deg P = deg Q et
les coefficients des termes de même degré de P et Q sont égaux


Cas particulier : P = 0 signifie que tous les coefficients de P sont nuls.

Une application très utile dans les exercices : Méthode par identification des coefficients
Le principe : Pour que deux polynômes soient égaux, on écrit qu'il suffit que leurs coefficients de même degré soient égaux deux à deux.

Exemple : Soient P et Q deux polynômes à coefficients réels définis respectivement par P(x)=7x^2+3x-5 et Q(x)=ax^2-bx+\dfrac c 2. Déterminer a, b et c afin que ces deux polynômes soient égaux.
\bullet On vérifie que ces deux polynômes ont le même degré, ici 2
\bullet Par identification des coefficients sur les monômes de même degré, on établit le sytème suivant :
\left\lbrace\begin{matrix} a& = & 7\\ -b& = & 3\\ \dfrac c 2 &=&-5 \end{matrix}\right \quad \text{ soit}  \quad \left\lbrace\begin{matrix} a& = & 7\\ b& = &- 3\\  c  &=&-10 \end{matrix}\right.

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4. Racine d'une fonction polynôme

Soit P une fonction polynôme de degré n, n supegal 1.

Définition
Une racine (ou zéro) de P est un nombre a tel que P(a) = 0.
Déterminer les racines de P, c'est résoudre l'équation P(x) = 0.


Exemple 1 : Soit P(x)=3+x .
P(x)=0 équivaut à dire 3+x=0 soit x=-3
On dit que -3 est la racine de P.

Exemple 2 : On peut aussi parfois trouver une racine dite "évidente", par simple calcul mental.
En général, on teste les valeurs avec les entiers -2, -1, 0 , 1 , 2
\bullet Soit Q défini par Q(x)=x^2-x. 0 est racine évidente de Q car Q(0)=0^2-0=0
\bullet Soit R défini par R(x)=x^2+2x-3. 1 est racine évidente de R car R(1)=1^2+2\times 1-3=0
A retenir
Si a est racine de P, alors on peut factoriser P par (x-a)
Réciproquement : si on peut factoriser P par (x-a), alors a est racine de P.


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5. Factorisation

Théorème
a est une racine de P si et seulement s'il existe une fonction polynôme Q telle que pour tout réel x, P(x) = (x - a) Q(x).


Remarques importantes :
On a alors deg (Q )= deg (P) - 1 ;
Ce théorème permet de réduire le degré d'une équation.

Exemple 1 : Factoriser Q(x)=x^2+3x-10

Dans un premier temps on remarque que 2 est racine évidente ; en effet, Q(2)=0. On a donc :


\begin{matrix} Q(x)& = &x^2+3x-10 & &  \\ Q(2)& = & 2^2+6-10 & & \\ ---& ---&---- - & &\text{ En soustrayant membre à membre, on obtient} \\ Q(x)-Q(2)&= & (x^2-2^2)+(3x-6) & & \\ Q(x)-0 & = & (x-2)(x+2)+3(x-2) & & \\ Q(x)& = &(x-2)(x+2+3) & & \\ Q(x)& =&(x-2)(x+5) & & \end{matrix}

Exemple 2 : factoriser le polynôme P défini par P(x)=x^3+x^2+4 en utilisant la méthode par identification.

\bullet P est un polynôme de degré 3
\bullet On remarque que -2 est une racine évidente ; en effet P(-2)=(-2)^3+(-2)^2+4=-8+4+4=0
\bullet P(x) est donc factorisable par (x-(-2)) soit (x+2)
\bullet Il existe donc une fonction polynôme Q, de degré 2, de la forme Q(x)=ax^2+bx+c avec a, b et c réels, telle que P(x)=(x+2)Q(x)
\bullet On développe, regroupe, et ordonne les termes par degrés décroissants :
(x+2)Q(x)=(x+2)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b+2a)x^2+(c+2b)x+2c

\bullet Par identification des coefficients de P et de Q, on établit le système suivant, à résoudre :
\left\lbrace\begin{matrix} a&= &1 \\ b+2a& = &1 \\ c+2b& =& 0\\ 2c&=&4 \end{matrix}\right.

\bullet Après résolution du système, on obtient a=1, b=-1, c=2 soit Q(x)=x^2-x+2 polynôme non factorisable
\bullet Conclusion : P(x)=(x+2)(x^2-x+2). (On peut développer ce produit pour se vérifier)

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6. Résolution d'équation de degré supérieur ou égal à 3


\bullet Chercher une ou plusieurs racines évidentes, en les conjecturant avec la calculatrice par exemple (souvent parmi les entiers -2, -1, 0, 1, 2)
\bullet Mettre en évidence le ou les facteurs communs si le coefficient constant est non nul.
\bullet Si possible, utiliser une ou plusieurs fois le théorème précédent (cf. 5.) pour factoriser le plus possible, afin d'arriver à un polynôme du premier ou du second degré.
\bullet Enfin, résoudre l'équation produit nul.
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7. Une formule utile

Quels que soient les réels x et a, xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + ... + akxn-k-1 + ... + an-2x + an-1).
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