Fiche de mathématiques
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Fonctions Polynômes : Cours

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I. Fonctions polynômes

1. Définitions

Une fonction polynôme est une fonction P : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} définie par une expression du type :
P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0
Les nombres a0,...,an sont appelés les coefficients de P.
Si an \neq 0, n est appelé le degré de P.


2. Opérations sur les degrés

Soit P et Q deux fonctions polynômes non nulles. Alors :
deg (PQ) = deg P + deg Q
et deg (P + Q) \le sup(deg P, deg Q)

Remarque : l'inégalité stricte est possible, les termes de plus haut degré pouvant s'annuler.


3. Egalité de deux fonctions polynômes

Soit P et Q deux fonctions polynômes
Théorème 1
P = Q signifie que :
deg P = deg Q et
les coefficients des termes de même degré de P et Q sont égaux


Cas particulier : P = 0 signifie que tous les coefficients de P sont nuls.


4. Racine d'une fonction polynôme

Soit P une fonction polynôme de degré n, n \ge 1.

Définition :
Une racine (ou zéro) de P est un nombre a tel que P(a) = 0.
Déterminer les racines de P, c'est résoudre l'équation P(x) = 0.
Théorème 2
a est une racine de P si et seulement s'il existe une fonction polynôme Q telle que pour tout réel x, P(x) = (x - a) Q(x).


Remarques :
on a alors deg Q = n - 1 ;
ce théorème permet de réduire le degré d'une équation.


5. Une formule utile

Quels que soient les réels x et a, xn - an = (x - a)(xn-1 + axn-2 + ... + akxn-k-1 + ... + an-2x + an-1).



II. Trinôme du second degré

1. Définitions

Un trinôme du second degré est un polynôme de la forme :
P(x) = ax² + bx + c avec a \neq 0.

Résoudre l'équation du second degré P(x) = 0, c'est chercher l'ensemble S des racines de P.


2. Méthode générale

Définition :
On appelle discriminant de P le réel \Delta = b² - 4ac.
Théorème 3
Si \Delta < 0, S = Ø
Si \Delta = 0, S = \left\lbrace -\dfrac{b}{2a} \right\rbrace
Si \Delta > 0, S = \left\lbrace \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} ; \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right\rbrace




3. Somme et produit des racines

Théorème 4
Si le trinôme P(x) = ax² + bx + c, avec a \neq 0, admet deux racines x1 et x2 alors :
x1 + x2 = -\dfrac{b}{a} et x1 x2 = \dfrac{c}{a}.


Remarque : ces formules restent valables si les racines sont confondues.
Théorème 5
Les solutions du système \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} u + v & S \\ uv & P \\ \end{array} \right. sont les couples (u, v) tels que u et v soient les solutions de l'équation du second degré x^2 - Sx + P = 0.


Remarque : quand on connaît une solution (u, v) du système on a entièrement résolu celui-ci, car l'autre solution est (v, u).


4. Factorisation du trinôme

Théorème 6
Si le trinôme P(x) admet deux racines x1 et x2 (éventuellement confondues), alors pour tout réel x,
P(x) = a(x - x1)(x - x2).




5. Signe du trinôme

Théorème 7
Si \Delta < 0, P(x) a le signe de a pour tout x.
Si \Delta = 0, P(x) a le signe de a pour tout x \neq -\dfrac{b}{2a}.
Si \Delta > 0, P(x) a le signe de a à l'extérieur des racines et le signe de (- a) entre les racines.


Remarque : un élève de première S doit connaître parfaitement ce résultat, mais peut, au début, faire rapidement un tableau de signes.


6. Second degré et paraboles

De nombreux résultats de ce chapitre se traduisent graphiquement à l'aide de la parabole P d'équation : y = ax² + bx + c, a \neq 0.
cours sur les fonctions polynômes - première : image 6
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