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Dm math variations

Posté par
Leoniedeville 13-09-20 à 19:04

Bonsoir, je souhaite avoir de l'aide pour l'exercice suivant :
On souhaite étudier le sens des variations des suites (Un) ci-dessous en utilisant des raisonnements directs ou des raisonnements par récurrence :

a) Un= n! = 1*2*....*n, pour tout entier naturel n non nul
b) Un= n2-2n, pour tout entier naturel n 3
c) Un=1-(1/2)+(1/3)-....+(1/2n-1)-(1/2n), puis Vn= Un + (1/2n), pour tout entier naturel n1
d) Un= (1*3*...*(2n-1))/(2*4*...*2n), pour tout entier naturel n.
e)Un=(n-1)/(2n-1), pour tout entier naturel n1

Réponses: (Désolé d'avance pour l'application des parenthèses)

e)J'ai commencé par la e) qui pour moi est la plus simple car on n'est pas obligé d'utiliser un raisonnement par récurrence pour déterminer le sens de variations.

J'ai utilisé Un+1- Un= r:

Soit Un= (n-1)/(2n-1)
Donc Un+1= (n+1)-1/2(n+1)-1 = n/2n+2-1 = n/2n+1

Alors Un+1- Un= n/2n+1   -   n-1/2n-1
= n*(2n-1)/2n+1*(2n-1) - n+1*(2n+1)/2n-1*(2n+1)

Donc Un+1- Un= (2n2-n)/(4n2- 2n +2n-1) - (2n2+n-2n-1)/(4n2 + 2n-2n-1)
=(2n2-n)/(4n2-1)  -  (2n2-n-1)/(4n2-1)
= (2n2-n-2n2-n-1)/(4n2-1) = 1/4n2-1>0

Donc Un+1 - Un >0, c'est-à-dire (Un) est strictement croissante pour tout n1 car Un+1> Un.  . C'est correct ?

Pour les autres, je n'ai pas vraiment d'idée car je débute dans le raisonnement par récurrence, merci si vous m'aidez

Posté par
heklare : Dm math variations 13-09-20 à 19:17

Bonsoir

Attention à l'écriture  du moins en ligne  les parenthèses sont indispensables.

Aucun intérêt de développer le dénominateur   Pour justifier il est plus simple de dire que 2n+1>0 comme somme de deux nombres positifs
et pour 2n-1
il est positif car n \geqslant 1

Pour a pas besoin de récurrence

Posté par
Leoniedevillere : Dm math variations 13-09-20 à 21:01

Bonsoir merci pour votre réponse.

e) Est-ce que je peux garder ma méthode ? Car je comprends pas la vôtre...

a) Faut-il faire Un+1- Un où Un+1= n+1!=1*2*...*n+1?

Merci pour votre aide ?

Posté par
heklare : Dm math variations 13-09-20 à 21:27

pour e) on a la même chose  la seule différence est que je n'ai pas effectué (2n+1)(2n-1)
lorsque vous avez réduit au même dénominateur. Je précisai aussi que vous n'aviez pas justifié que u_{n+1}-u_n était positif

Oui on peut se dispenser de tout écrire u_{n+1}-u_n= (n+1)!- n! = (n+1)\times n!-n!

une petite factorisation  et c'est bouclé

Posté par
Leoniedevillere : Dm math variations 14-09-20 à 08:01

Bonjour merci pour votre réponse,
donc Un+1 - Un = (n+1)*n!- n! >0
La suite (Un) est donc croissante.
Cela suffit pour la a) ?

Merci pour votre aide

Posté par
heklare : Dm math variations 14-09-20 à 10:26

Cela suffira lorsque vous aurez justifié que u_{n+1}-u_n est positif

u_{n+1}-u_n= n\times n!

u_{n+1}-u_n>0 car

donc la suite est  croissante

Posté par
Leoniedevillere : Dm math variations 14-09-20 à 22:03

Bonsoir merci pour votre réponse .
Donc Un+1-Un= (n+1)!-n!= (n+1)*n!-n! = (n+1-1)*n!= n*n!

Questions: -Pourquoi cherche-t-on à montrer que Un+1-Un est positif dans votre méthode ?
-Comment prouver que n*n! >0 ? (C'est la 1ère fois que je vois un n avec un ! ...)

Merci pour votre aide

Posté par
heklare : Dm math variations 15-09-20 à 00:46

Citation :
On souhaite étudier le sens des variations des suites (Un) ci-dessous


On prend la définition d'une suite croissante   une suite est croissante si quel que soit n ,u_{n+1}-u_n>0

C'est donc ce que l'on fait

n n! > 0 puisque c'est le produit d'entiers non nuls

Posté par
Leoniedevillere : Dm math variations 16-09-20 à 19:59

Bonsoir merci pour votre aide.

Mais pour le d) on fait comment ?

Faut-il utiliser seulement (2n-1)/(2n) où Un+1= (2n+1)/(2n+1) et ensuite faire Un+1- Un ?

Merci pour votre aide

Posté par
heklare : Dm math variations 16-09-20 à 21:36

Toujours la même méthode

u_{n+1}=\dfrac{1\times 3\times \dots\times (2n-1)\times (2n+1)}{2\times 4\times \dots \times 2n\times (2n+2)}

u_{n}=\dfrac{1\times 3\times \dots\times (2n-1)}{2\times 4\times \dots \times 2n}

u_{n+1}-u_n=\dfrac{1\times 3\times \dots\times (2n-1)\times (2n+1)}{2\times 4\times \dots \times 2n\times (2n+2)}- \dfrac{1\times 3\times \dots\times (2n-1)}{2\times 4\times \dots \times 2n}

u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(1\times 3\times \dots\times (2n-1)\right)(2n+1-(2n+2))}{2\times 4\times \dots \times 2n\times (2n+2)}

Posté par
Leoniedevillere : Dm math variations 18-09-20 à 22:16

Bonsoir merci pour votre aide.
Donc un+1-un = (1*3*....*(2n+1))/(2*4*...2n*(2n+2)) ?

Peut-on encore mieux simplifier ?

Merci pour votre aide, bonne soirée

Posté par
heklare : Dm math variations 20-09-20 à 14:00

Désolé de répondre si tard je n'avais pas vu votre dernier message  

u_{n+1}-u_n=\dfrac{\left(1\times 3\times \dots\times (2n-1)\right)(-1)}{2\times 4\times \dots \times 2n\times (2n+2)}

donc u_{n+1}-u_n<0

La suite est donc décroissante


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