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Dm maths
bonjour , je n'arrive pas à mon exercice de maths 
voici le problème :
dans un repère , on considère la droite (d) d'équation :5x-27y =1
le premier point de la droite à coordonnées positives de la dorite (d) est le point de coordonnées D(11,2).
ecrire un algorithme qui détermine le 100ème point à coordonnées entières positives de la droite (d).
je vous remercie d'avance pour votre aide 
nico17
Bonjour,
Voici une autre façon de voir les choses , si vous avez étudié la résolution de l'équation
diophantienne a x + b y = c .
On a la droite (d) d'équation :5x-27y =1 , donc les points de la droite (d) à coordonnées
positives sont les solutions de cette équation qui sont telles que x et y positifs .
Puisque le premier point de la droite (d) à coordonnées positives est le point D(11,2) ,
donc une solution triviale de l'équation 5x-27y =1 est (11,2) ,
donc l'ensemble des solutions de cette équation est .
On remarque que le couple (11,2) qui est le premier point de la droite (d) à
coordonnées positives correspond à k = 0 , donc le 100ème point de la droite (d) à
coordonnées positives correspond à k = 99 , donc c'est (2684,497) .
Pour l'algorithme, faîtes-nous une proposition et on verra .
Bonjour,
il manque un mot primordial dans l'énoncé :
le premier point de la droite à coordonnées entières positives de la dorite (d)
donc une solution triviale connue de l'équation 5x-27y =1 est (11,2) ,
donc l'ensemble des solutions de cette équation est
parfaitement
mais il y a "du boulot" à faire entre ces deux lignes si on ne connait pas déja la théorie de ces équations là
ce boulot c'est retrancher membre à membre
(sans effectuer l'opération numérique bien entendu !! écrire que 1 = 1 n'apporterait rien du tout)
puis utiliser le "lemme de Gauss" :
si a divise bU et que a est premier avec b, a divise U
Bonjour,
Un grand Merci Mathafou, il n y a pas mieux que la rigueur Mathématique pour progresser.
Vous me faîtes penser à un certain M.Robot, sur un autre site qui m'a appris à me conformer à cette rigueur et que je respecte bien : ça fait bien du temps qu'il ne s'est pas manifesté et j'espère qu'il va bien .
Encore une fois Merci M. Mathafou .
bonjour
je ne sais pas si nico17 a réussi à terminer l'exercice avec la méthode de mathafou...
moi non
je suis bloqué à 5(x-11)-27(y+2)=0
déjà c'est ce que tu voulais dire par
ce boulot c'est retrancher membre à membre
comment poursuivre?
merci
Bonjour
5(x-11)-27(y+2)=0
5(x-11)=27(y+2)
......
tout cela est du programme de terminale en arithmétique (pour ceux qui ont choisi la spécialité en S ) : quand on l'a déjà vu, c'est pas compliqué...(avec utilisation du théorème de Gauss)
regarde l'exemple 4 de cette fiche 
Divisibilité - PGCD et PPCM - Nombres premiers
parce que il faut lire l'énoncé et pas chercher midi à 14 heure en résolvant des questions qui n'y sont pas ...
"ecrire un algorithme qui détermine le 100ème point à coordonnées entières positives de la droite (d)"
et UNIQUEMENT écrire un algorithme
les calculs effectués dans cette discussion sont donc hors sujet (c'est bien de savoir le faire, mais comme on vient de le dire ce serait du programme de Terminale)
ici un algorithme (et rien qu'un algorithme) va consister par exemple brutalement à :
balayer toutes les valeurs entières de x à partir de x = 11, (x = 11, 12, 13, ... jusqu'à plus soif)
tester si ce point de la droite a une ordonnée entière
si oui on le compte
et on poursuit en s'arrêtant quand on en a trouvé 100
terminé, on affiche la dernière valeur de x et y trouvée
on voit déja que la condition d'arrêt de la boucle est quand on en a trouvé 100
alors qu'on aura fait bien plus que 100 boucle : on aura essayé tous les nombres entiers entre la première solution donnée et la 100ème cherchée (donc un nombre à priori inconnu de valeurs de x)
donc obligatoirement ce sera une boucle "tant que"
et on utilisera une variable qui compte les solutions trouvées
la structure de l'algorithme sera donc
initialiser x = 11 et N = 0 (on n'a aucun solution pour l'instant)
tant que N < 100
calculer y de la droite
tester si y est un nombre entier
si oui ajouter 1 à N
fin si
ajouter 1 à x
fin tant que
afficher x et y
Bonjour,
en première
5x-27 y=1
5x=1+27y
or x doit appartenir à 
d'où
1+2y=5n
2y=5n-1
or y doit être un entier donc n doit être impair afin que 5n-1 soit divisible par 2
et
PS : bien entendu cet algorithme est très peu efficace, mais "ça répond à la question"
faire un algorithme efficace est répondre à la 1ère question de Hekla (restée totalement sans réponse à ce jour !!)
quel est le vecteur directeur de cette droite ?
et réfléchir un peu à la signification (géométrique) de coefficient directeur :
si le coefficient directeur est p/q cela veut dire que en avançant en x de q, on avance en y de p
mais la rédaction d'un tel algorithme efficace se résume alors à effectuer une simple multiplication par 99 sans aucune boucle !!
on peut douter tout de même que ce soit ça qui soit attendu comme "algorithme" !
bis répétita : labo tu es hors sujet.
c'est intéressant mais ce n'est pas ce qui est demandé.
le seul calcul qui est "dans les clous" est d'écrire l'équation de la droite sous la forme y = (5x-1)/27 et c'est tout.
c'est le seul calcul qu'il faut réaliser sur sa feuille avant d'écrire l'algorithme et de répondre à la seule question posée : écrire un algorithme.
valparaiso
ok merci je vais regarder.
donc pourquoi donner ça en 1S?
je n'ai fait que répondre à ta question, et à la "diversion" de aymanemaysae
mais je pense que ce n'est pas du tout ce qui est attendu dans cet exercice comme le dit mathafou
ok ok concentrons nous sur l'algorithme
tester si y est un nombre entier
on peut faire ça avec la calculatrice?
oui,
ça dépend de la calculatrice mais il y a en général diverses méthodes (celles applicables dépendent de quelle calculatrice) qui se ramènent à peu près toutes à l'une de ces deux là :
la partie fractionnaire est nulle (existence d'une fonction "partie fractionnaire" sur cette calculatrice)
le nombre est égal à sa partie entière (existence d'une fonction "partie entière")
vu que la pente est de
on peut utiliser 1 boucle for qui calcule les images que pour les valeurs entières de et ne compter que les images si elles sont elles mêmes entières
compliqué?
qui calcule les images que pour les valeurs entières de
avec
si tu veux faire des sauts sur x plus grands que 1 pour accélérer l'algorithme cela reviendra à faire l'algorithme stupide pour calculer le 100ème multiple de 27 (qui est 100 fois 27 !!) par une boucle for !!
calcul stupide de 100 fois 27 :
pour K de 1 à 100
calculer A = 27*K
fin pour
afficher A
(et en plus ça nécessitera de faire une étude théorique plus poussée que ce qui est vraiment demandé dans cet exo, revenant aux calculs de aymanemaysae, Labo et autres)
méthode intuitive pour faire ces calculs (hors sujet)
un vecteur directeur de la droite est (27; 5)
cela veut dire que chaque fois qu'on ajoute 27 à x, on ajoute 5 à y
et il n'y a pas de pas plus petit parce que 27 et 5 n'ont pas de diviseurs commun (la fraction 5/27 est irréductible)
les points entiers auront donc comme abscisses 11, 11+27, 11+2*27 ... 11+27k
on retrouve les formules qui rendent tout algorithme inutile (une simple multiplication par 99 donne le résultat !!) déja citées pour x et y.
Je suis désolée de ne pas avoir répondu plus tôt j'ai eu des problèmes de boxe, merci beaucoup pour toutes vos réponses grâce à vous j'ai compris encore merci
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