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Dm maths: approximation de π avec suite sinus et cosinus

Posté par
bobj
26-01-20 à 18:44

Bonsoir,

Voici un extrait de l'énoncé de mon exercice

On admet que :
lim (sin(X)/(X) ) =1

1. a.
Suite an = n*sin(π/n)
Calculer la limite de (an)n et Montrer que la suite converge vers π
1.b.
Trouver le plus petit  n pour lequel  on obtient une approximation de π a 10-5

2.a Suite un=2n* sin(π/2n)
Calculer la limite de (un)n et Montrer que la suite converge vers π
2.b Trouver le plus petit  n pour lequel  on obtient une approximation de π a 10-5


Voila!
______________________________________________________
1.a
j'ai donc montré que lim an=  π  en multipliant an par  (π /n)/(π /n) et en effectuant un changement de variable X=(π /n), pour me servir de la limite admise de l'énoncé.

an = n*sin(π/n)
an = π *sin(π/n)/(π /n)
an = π *sin(X)/(X) avec X=(π /n)
donc, par produit, lim an =  π
je sais qu'il faut ensuite utiliser le théorème "si une suite est strictement monotone et possède une limite finie, alors elle converge"

je sais également que la suite est croissante mais je n'arrive pas à le prouver.

j'ai essayé de faire le typique a(n+1) - an
J'obtiens n*(sin( π/n+1)-sin ( π/n))  + sin ( π/n) et je n'arrive pas à déterminer son signe

j'ai également essayé la fonction correspondant à la suite f(x) = x*sin( π/x)

j'obtiens une dérivée  f'(x)= - *cos(/x)*x   + sin( π/x)
mais je n'arrive toujours pas à déterminer le signe de f'(x)

1.b j'obtiens n=1396

2.a
j'ai donc montré que lim un=  π  en multipliant un par  (π /2n)/(π /2n) et en effectuant un changement de variable X=(π /2n), pour me servir de la limite admise de l'énoncé.

un =2n*sin(π/2n)
un = π *sin(π/2n)/(π /2n)
un = π *sin(X)/(X) avec X=(π /2n)
donc, par produit, lim un =  π
je sais qu'il faut ensuite utiliser le théorème "si une suite est strictement monotone et possède une limite finie, alors elle converge"

je sais également que la suite est croissante mais, CA AUSSI ,  je n'arrive pas à le prouver.

ici Un+1 - Un vaut 2n * (2 sin(/2n+1)   -  sin ( /2n)

et ça je n'arrive pas à trouver le signe, non plus...

Je ne peux pas faire la dérivée de Un car je n'ai pas encore étudié les Ln.

2.b je trouve n=11

Merci d'avoir pris le temps d'avoir lu , tout ça , jusqu'au bout. Cela fait une journée entière que je bosse dessus, et ça m'embete vraiment de ne pas trouver ces deux petites questions. Merci pour votre aide.

Posté par
Seon
re : Dm maths: approximation de π avec suite sinus et cosin 26-01-20 à 19:39

Tu as en fait déjà trouvé !
Dire qu'une suite est convergente est tout à fait équivalent à dire qu'elle admet une limite finie, tu n'as donc rien d'autre à montrer.

Je pense que tu as dû te tromper en recopiant le théorème "si une suite est strictement monotone et possède une limite finie, alors elle converge". C'est sans doute plutôt quelque chose du genre : "si une suite est monotone et bornée, alors elle converge".

Posté par
bobj
re : Dm maths: approximation de π avec suite sinus et cosin 26-01-20 à 19:42

merci seon,

tu as raison, mais je n'ai pas réussi à montrer qu'elle était monotone.
j'ai juste vu sa variation graphique à la calculatrice pour voir qu'elle était croissante.

cela ne constitue pas une démonstration..
as tu une idée ?

Posté par
Seon
re : Dm maths: approximation de π avec suite sinus et cosin 26-01-20 à 20:09

Tu as mal compris le sens de ma remarque : tu n'as pas besoin de montrer qu'elle est monotone pour montrer qu'elle est convergente. Dire qu'une suite est convergente, c'est pareil que dire qu'elle admet une limite finie, ce que tu a déjà montré.

Posté par
bobj
re : Dm maths: approximation de π avec suite sinus et cosin 26-01-20 à 20:36

incroyable,
je cherchais midi à quatorze heures... je n'aurai pas pensé que c'était si évident...
Merci beaucoup.
je vais donc rédiger cette remarque dans la partie qu'il me manquait.
bonne soirée.



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