Inscription / Connexion Nouveau Sujet
dm maths dérivées
Bonjour à tous, je suis actuellement en train de faire un devoir maison de maths qui est pour vendredi mais je rencontre un problème dans l'un des exercices.
Voici l'énoncé:
le but de cet exercice est de démontrer l'inégalité de Bernouilli.
Pour tout n de N et x>=-1, on a (1+x)^n>=1+nx.
1ere méthode:
1) soit f(x)=(1+x)^(n)-1-nx Etudier les variations de cette fonction pour x>=-1.( dérivéé, signe de la dérivée).
j'ai globalement réussi cette question et je suis arrivé au résultat que la fonction f était décroissante sur -1;0 et croissante sur 0;+infinie.
2)déduire l'inégalité de Bernoulli. Ici par contre je n'ai aucune idée pour faire cette question.
2eme méthode:
soit g(x)=(1+x)^n.
3) démontrer que g est convexe sur -1;+infinie.
ici j'ai eu l'idée de calculer f'' et cela m'a donné f''=n(n-1)(1+x)^(n-2) mais après je suis bloqué pour savoir si f'' est positive.
4)déterminer une équation de la tangente en 0.
5)Déduire l'inégalité de Bernouilli.
Ici pour les questions 4 et 5 je n'ai aucune idée mise à part que la question 5 est la meme que la question 2.
Je vous remercie d'avance pour vos réponse qui m'aideront dans l'élaboration de ce devoir.
Bonjour en regardant mon tableau de variation on voit que f(x) admet un extremum minimum de 0 elle décroît de -1;0 et croît de 0;+infinie donc f(x) est strictement positive et s'annule en 0.
Mais après cela je n'arrivé pas à trouver le rapport avec l'inégalité de bernouilli Merci d'avance.😉
0 remplace f(x) et fait passer de l'autre coté pour trouver ce que tu veux montrerMerci ça me fait donc (1+x)^(n)-1-nx>=0
(1+x)^(n)>=1+nx
On retrouve l'inegalite de bernouilli.
Est ce que mon f'' est bon car j'ai du mal à démontrer qu'Il est >0
Merci d'avance.
donc g est convexe ...ok?
convexe ça signifie aussi que la courbe de g(x) est toujours au dessus de ses tangentes
continue donc l'exo
Bonjour mon devoir à été décalé à lundi j'y suis arrivé sauf à la question 5 du 1 ou je dois déduire l'inégalité Dr bernouilli
J'ai écris : Comme g est convexe sur [-1;+infini[ On à g(x) située au dessus de ses tangentes donc (1+x)^n>=1+nx
J'aimerai juste savoir si ma réponse est juste ou pas merci d'avance
Annuler
connectez vous