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DM Maths exercice de réccurence
Bonjour je m'appelle Alex, je suis en terminale S et j'ai besoin d'aide pour une question d'un DM de maths sur laquelle je bloque.
Voici le sujet :
Soit la suite (un) définie par u1 = 1 et pour tout entier n >= 1, un+1 = 1 + n/un.
a) Démontrer : pour tout réel x >= 2, 1/(√(x) + 1 > √(x+1) - √(x)
On pourra utiliser, après l'avoir justifiée, l'égalité : pour tout réel a et b positifs :
√(a) - √(b) = (a-b)/(√(a) + √(b))
b) Démontrer par récurrence : pour tout entier naturel n >= 2, √(n) < un < √(n) +1.
Pour la a) j'ai fait (je ne vous écrit pas la méthode de résolution pour l'égalité avec a et b positif mais je trouve a - b = a - b donc je peux utiliser cette méthode de la racine carré au dénominateur pour l'inégalité suivante) :
1/(√(x) + 1 > √(x+1) - √(x)
1/(√(x) + 1 > ((x+1) - x)/√(x+1) + √(x)
1/(√(x) + 1 > 1/√(x+1) + √(x) comme x >= 2
√(x) + 1 < √(x+1) + √(x)
1 < √(x+1)
1 < x+1 puisque x >= 2
Mais je suis bloqué à l'étape de l'hérité dans le raisonnement par récurrence.
Pourriez-vous m'aider à terminer ce DM s'il vous plaît ?
Merci d'avance
Bonjour,
C'est ton 1er message sur l'île, bienvenue
Tu as trop tendance à partir du résultat pour tomber sue une évidence :
je trouve a - b = a - b
Par exemple trans former le produit
a-b)(a+b) Tu as une parenthèse ouverte non fermée. Je suppose que c'est
x) Je ne comprends pas ce qui précède "comme x >= 2".
De toutes façons, il ne faut pas partir de l'inégalité à démontrer. Ça doit être la dernière ligne de la démonstration.
Pour ce qui est de l'hérédité de la récurrence, je n'ai rien vu de simple
On part de
n < un < 1+n .
La fonction inverse est décroissante sur ]0;+
[, donc 1/
n > 1/un > 1/(1+n) .
Qui s'écrit aussi 1/(1+
n) < 1/un < 1/n .
En multipliant par n qui est positif, puis en ajoutant 1, on obtient :
1+n/(1+n) < un+1 < 1+n
Il reste à montrer
D'une part 1+
n 
1+(n+1) . Facile
D'autre part 1+n/(1+
n) > (n+1) . Pas facile.
salut,
en effet je ne vois pas comment utiliser la question a/
il n'y a pas de question avant celles-ci ?
Merci de m'avoir répondu aussi rapidement.
Pour la a) j'ai dis que l'inégalité : 1/(√(x) + 1 > 1/√(x+1) + √(x) est vraie comme x >= 2
Oui j'avais oublié de fermer une parenthèse, j'ai cru que je m'étais bien relu, pardon. C'est bien 1/(1+x) à la ligne "comme x >= 2".
De toutes façons, il ne faut pas partir de l'inégalité à démontrer. Ça doit être la dernière ligne de la démonstration.J'ai essayé de la faire d'un autre méthode avec le produit en croix mais je crois que c'est faux car je ne trouve pas le même résultat.
Pour la b) j'ai fait :
D'une part ;
1+
n1+(n+1)
1+(
n)²1+(n+1)
n : on multiplie par n
1+n
2+n
0
1
D'autre part :
(1+n)/(1+
n) > (1+n)
1+n < (1+
n)² : avec le produit en croix
0 < 2
nOui alb12 :
salut,
en effet je ne vois pas comment utiliser la question a/
il n'y a pas de question avant celles-ci ?
Je suis désolé j'ai fait une des plus grosses erreurs du forum je n'ai pas mis tout le sujet parce que cela me semblait inutile mais maintenant je vois que non.
En effet il faut calculer uk, pour tout réel k
[2;5] et j'obtient :
u2 = 2
u3 = 2
u4 = 5/2
2,5
u5 = 13/5
2,6il y a bien une demo mais tres eloigne de l'esprit de l'exercice
on veut montrer 1+n/(1+sqrt(n))>sqrt(n+1)
donc montrer que 1+sqrt(n)+n-sqrt(n+1)*(1+sqrt(n))>0
l'etude des variations de n->1+sqrt(n)+n-sqrt(n+1)*(1+sqrt(n)) permet me semble-t-il de conclure.
Je l'ai fait c'est la partie « D'autre part » mais je suppos Equey ce n'est pas correct avec ce que tu as dit. Correct ?
Bonjour alb12,
Merci de prendre la suite car je ne vais plus être disponible.
J'ai réussi à utiliser a), mais je trouve ça alambiqué.
Je démontre n((n+1)-n) > (n+1).
En démontrant que c'est équivalent à (1/(1+1/n)) < 1-1/n
Avec x =1/n , équivalent à (1+x) > 1/(1-x) .
Peut-être des coquilles car j'ai recopié rapidement.
n*(sqrt(n+1)-sqrt(n))>sqrt(n+1) est faux donc ttes les autres inegalites sont fausses.
En particulier la derniere qui est fausse si 0<x<1
bonjour
je suivais ce topic en coulisse.
dans un premier temps j'ai utilisé a) mais cela ne m'a menée à rien de probant non plus.
j'ai donc repris à partir de : montrer que (n+1) < 1+n/(1+n)
(n+1) < 1+n/(1+n)
((n+1))² < (1+n/(1+n))²
n+1 < (1+n+n)²/(1+n)²
(n+1)(1+2n+n) - (1+n+n)²<0
...
n>0 --- toujours vrai
d'où
n
, n
2,
(n+1) < 1+n/(1+n) < un+1
(n+1) < un+1
ps : en procédant par équivalence, il me semble que mon raisonnement est correct...
mais j'ai un doute.
bravo ! c'est exact. On se demande ce que vient faire le a/ dans cet exercice.
avec Xcas:
E:=(n+1)*(1+sqrt(n))^2-(1+n+sqrt(n))^2
simplifier(E) renvoie -n
Merci beaucoup à tous ceux qui m'ont aidé pour ce DM que je n'arrivais pas à finir vous m'avez été d'une grande aide
Bonsoir,
Je suis de retour.
n*(sqrt(n+1)-sqrt(n))>sqrt(n+1) est faux
Et bravo à carita d'avoir trouvé une démonstration pas trop compliquée !
le mystère de la question a) subsiste...
parce qu'il est quand même écrit dans l'énoncé "On pourra utiliser, après l'avoir justifiée, l'égalité ..."
je serai curieuse aussi d'avoir le fin mot de l'histoire !
Bonsoir carita,
Ce que tu cites est interne à la question a), et ne pose pas de problème.
Dans b), il n'est pas écrit "déduire de a)". Mais on a tendance à le comprendre ainsi.
Cette question a) semble n'avoir aucun rapport avec la suite
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