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dm maths fonction ; équation différencielle
Bonjour,
J'ai un dm et je ne sais pas par où commencer
Voilà l'énoncé :
On se propose de démontrer qu'il existe une unique fonction f vérifiant la condition (C) :
(C) :
f est dérivable sur R
f(-x)f'(x) = 1 pour tout réel x
f(0) = -4
et de trouver cette fonction
1. On suppose qu'il existe une fonction f vérifiant la condition (C) et on considère la fonction g définie sur R par : g(x) = f(-x)f(x)
a)Démontrer que f ne s'annule pas sur R
b)Calculer la dérivée de la fonction g
c)En déduire que g est une fonction constante et déterminer sa valeur
d)Démontrer que la fonction f est solution de l'équation différentielle (E) : y' = (1/16)y
e)En déduire l'expression de f(x) en fonction de x
2. Conclure
Merci d'avance
Bonjour,
1)a) On fait un raisonnement par l' absurde en supposant qu' il existe tel que
Alors la seconde condition de donne:
ce qui est absurde.
Donc ne s' annulle pas sur
.
1)b)
1)c) Donc est constante et
et
1)d)
or (
ne s'annulle pas pour les mêmes raisons qu' en 1))
d' où
1)e)
donc
et
Bonjour,
c'est pour le 1.e, je vois pas trop comment tu trouves e(x/16) dans f(x) = -4e(x/16)
Merci d'avance,
C' est du cours:
Les solutions de l' équation différentielle sont les fonctions
définies par:
où
est une constante arbitraire.
Ici, et la condition initiale
impose
On a montré que si vérifie la condition
, alors
est nécessairement la fonction définie par:
Réciproquement, il faut vérifier que cette fonction vérifie bien la condition .
On peut alors conclure que cette fonction est l' unique solution du problème posé.
Bonjour,
S' il existe réel tel que
, en posant
, on a:
Mais la seconde condition donne:
Ce qui est tout à fait contradictoire.
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