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Niveau quatrième
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DM MATHS...une colle !

Posté par
canotte
25-02-18 à 22:18

Bonjour,

Voici une question sur laquelle je sèche:
"Combien de chiffres sont nécessaires pour donner l'expression décimale de 2puissance 600. Justifier votre réponse".

Je ne comprends pas...Pouvez vous m'aider?

Posté par
NeK
re : DM MATHS...une colle ! 25-02-18 à 22:32

Bonjour,
Il y a surement un contexte, des questions avant qui peuvent te guider ?

Posté par
canotte
re : DM MATHS...une colle ! 25-02-18 à 23:02

C'est justement l'unique question ...

Posté par
bbomaths
re : DM MATHS...une colle ! 26-02-18 à 02:25

Bonsoir.

La solution la plus simple est d'utiliser les logarithmes (si vous connaissez) :

n_d = \lceil \log(N) \rceil

avec nd le nombre de chiffres dans le nombre entier N.

Comme :

10^p \leqslant N < 10^{p+1}

Alors :

\log(10^p) \leqslant \log(N) < \log(10^{p+1})

Ou :

p\log(10) \leqslant \log(N) < (p+1)\log(10)

Ou :

p \leqslant \log(N) < (p+1)

et nd = p + 1


Ainsi :

n = \lceil \log(2^{600}) \rceil = \lceil 600 \log(2) \rceil = \lceil 180,617 \rceil = 181

Posté par
malou Webmaster
re : DM MATHS...une colle ! 26-02-18 à 09:24

canotte annonce être en 4e....les log, ça va être dur....

Posté par
bbomaths
re : DM MATHS...une colle ! 26-02-18 à 13:19

Bonjour.

Comme :

2^{10p} = \left(2^{10}\right)^{p}

Alors :

\begin{tabular}{|l|c|c|r|c|} \hline $p$ & $2^{10p}$ & $\left(2^{10}\right)^p$ & valeur & $N_d$ \\ \hline 1 & $2^{10}$ & $\left(2^{10}\right)^1$ & 1024 & $1 + 3 \times 1$ \\ \hline 2 & $2^{20}$ & $\left(2^{10}\right)^2$ & 1 048 576 & $1 + 3 \times 2$ \\ \hline 3 & $2^{30}$ & $\left(2^{10}\right)^3$ & 1 073 741 824 & $1 + 3 \times 3$ \\ \hline 4 & $2^{40}$ & $\left(2^{10}\right)^4$ & 1 099 511 627 776 & $1 + 3 \times 4$ \\ \hline 5 & $2^{50}$ & $\left(2^{10}\right)^5$ & 1 125 899 906 842 624 & $1 + 3 \times 5$ \\ \hline 6 & $2^{60}$ & $\left(2^{10}\right)^6$ & 1 152 921 504 606 846 976 & $1 + 3 \times 6$ \\ \hline 7 & $2^{70}$ & $\left(2^{10}\right)^7$ & 1 180 591 620 717 411 303 424 & $1 + 3 \times 7$ \\ \hline 8 & $2^{80}$ & $\left(2^{10}\right)^8$ & 1 208 925 819 614 629 174 706 176 & $1 + 3 \times 8$ \\ \hline  ... & ... & ... & ... & ... \\ \hline \end{tabular}

D'où :

N_{d} = 1 + 3 p

Alors :

2^{600} = \left(2^{10}\right)^{60}

Et le nombre de chiffre pour 2600 :

Nd = 1 + 3 \times 60 = 1 + 180 = 181

Posté par
dpi
re : DM MATHS...une colle ! 26-02-18 à 16:27

A noter que 2^{60} est utile pour le problème de l'échiquier de 64 cases ;en effet il suffit de multiplier par 16.
Cette particularité  par tranche  débutant par 1 se termine à 2^{300}

ensuite c'est  le chiffre 2 qui est en tête.

Posté par
canotte
re : DM MATHS...une colle ! 27-02-18 à 10:22

Merci !
Merci beaucoup

Posté par
bbomaths
re : DM MATHS...une colle ! 27-02-18 à 10:57

Bonjour.

Et comme quoi, canotte, on peut y arriver pas 2 moyens différents...



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